Calcolo del flusso del rotore

[lotuno]

Buonasera, oggi vi propongo un esercizio in cui occorre calcolare il flusso del rotore del campo. So che si dovrebbe applicare il teorema di Stokes, secondo il quale è uguale alla circuitazione lungo il bordo di questa sfera (tagliata da un piano), bordo che dovrebbe avere equazione $x^2 +y^2 = 4$.
Tuttavia non riesco a completare i calcoli, perché non so come parametrizzare per svolgere l'integrale: avevo pensato di parametrizzare il $(x,y,z)$ in $(t, 0)$, ottenendo $(cos(t), sin(t), 0)$ per poi procedere. Però in questo modo perderei informazioni sul "raggio" della circonferenza. Ho provato allora ad impostarlo parametrizzando per $(t, r)$ però così facendo non ho ottenuto il risultato giusto (che è $16pi$).
Qualcuno mi dà un consiglio? Grazie in anticipo

Allego la traccia:

[lotuno]

AGGIORNAMENTO: ho provato di nuovo a svolgere un semplice integrale doppio lungo la circonferenza $x^2+y^2 = 4$ parametrizzando con le solite coordinate polari $(t, r)$: in questo modo ho trovato che l'ultima componente del campo si annulla e, moltiplicando $F(rsin(t), rcos(t), 0)$ per il versore tangente $(-sin(t), cos(t), 0)$ mi è venuto fuori un integrale doppio del tipo: $-2r^2sin(t)cos(t) -4r^3sin^2(t) + r^5sin(t)cos(t)$ (dove ho considerato anche lo Jacobiano $r$ del passaggio a coordinate polari). Di questo integrale solo la seconda componente non è nulla, e facendo i conti mi viene $-16pi$ che quadra con il risultato cercato (da cambiare di segno perché la normale punta verso l'origine?). Che ne dite, può essere così? Grazie