Calcolo del flusso del campo vettoriale attraverso una superficie
Calcolare il flusso del campo vettoriale:
$ \vec{F}(x,y,z) = y^2z^2vec{i}+x^2z^2\vec{j}+ z^3\vec{k}$
attraverso la superficie
$ S= {(x,y,z) in RR^3 : x^2 + z^2 =1, zin[-2,2]}$
orientata nel verso della normale esterna al cilindro.
Io so che il flusso si calcola così:
$\int_S <\vec{F}*\vec{nu}> dsigma$ =$int int_\bar{A} < F(Phi(u,v))*\vec{nu}> du dv$
Ho utilizzato la seguente parametrizazzione per la superficie S:
$ Phi(x,y) = (x,y,sqrt(1-x^2))$
poi mi sono calcolato il vettore normale:
$Phi_x ^^ Phi_y = |(\vec{i},vec{j},vec{k}),(1,0,(-3x^2)/(2*sqrt(1-x^3))),(0,1,0)| = (3x^2)/(2*sqrt(1-x^3))*\vec{i} +\vec{k}$
quindi l'integrale applicando la formula mi verrebbe così:
$ int int_\bar{A} (y^2*z^2*(3x^2)/(2*sqrt(1-x^3))+z^3) dx dy$
L'insieme $\bar{A}$ sarebbe un cilindro di base il cerchio $ x^2+z^2=1$ e di altezza $ y in [-2,2]$
E' giusto il procedimento fino qui?
Si? No?
Adesso non ho ben capito come continuare.... posso passare in coordinate polari?
Non si potrebbe parametrizzare la superficie direttamente con $Theta$ e $rho$???
Grazie in anticipo
$ \vec{F}(x,y,z) = y^2z^2vec{i}+x^2z^2\vec{j}+ z^3\vec{k}$
attraverso la superficie
$ S= {(x,y,z) in RR^3 : x^2 + z^2 =1, zin[-2,2]}$
orientata nel verso della normale esterna al cilindro.
Io so che il flusso si calcola così:
$\int_S <\vec{F}*\vec{nu}> dsigma$ =$int int_\bar{A} < F(Phi(u,v))*\vec{nu}> du dv$
Ho utilizzato la seguente parametrizazzione per la superficie S:
$ Phi(x,y) = (x,y,sqrt(1-x^2))$
poi mi sono calcolato il vettore normale:
$Phi_x ^^ Phi_y = |(\vec{i},vec{j},vec{k}),(1,0,(-3x^2)/(2*sqrt(1-x^3))),(0,1,0)| = (3x^2)/(2*sqrt(1-x^3))*\vec{i} +\vec{k}$
quindi l'integrale applicando la formula mi verrebbe così:
$ int int_\bar{A} (y^2*z^2*(3x^2)/(2*sqrt(1-x^3))+z^3) dx dy$
L'insieme $\bar{A}$ sarebbe un cilindro di base il cerchio $ x^2+z^2=1$ e di altezza $ y in [-2,2]$
E' giusto il procedimento fino qui?
Si? No?
Adesso non ho ben capito come continuare.... posso passare in coordinate polari?
Non si potrebbe parametrizzare la superficie direttamente con $Theta$ e $rho$???
Grazie in anticipo
Risposte
mi stranizza la parametrizazzione , io avrei usato una phi con x,y, sqrt(1-x^2)... questo mi lascia perplesso... cmq si poi sostituisci a z il suo valore e poi si potrebbe passare tranquillamente in coordinate polari
Io direi che conviene partire direttamente con la parametrizzazione, che rende tutto molto più semplice. Posto
$$x=\cos u,\ z=\sin u,\ y=v\ \Rightarrow\ r(u,v)=(\cos u, v, \sin u)$$
con le condizioni $u\in[0,2\pi),\ v\in[-2,2]$. In questo modo anche il calcolo del versore normale dovrebbe risultare molto più semplice ed immediato.
@Giorgio: "stranizza"????????????????????????????????????????????????????????
$$x=\cos u,\ z=\sin u,\ y=v\ \Rightarrow\ r(u,v)=(\cos u, v, \sin u)$$
con le condizioni $u\in[0,2\pi),\ v\in[-2,2]$. In questo modo anche il calcolo del versore normale dovrebbe risultare molto più semplice ed immediato.
@Giorgio: "stranizza"????????????????????????????????????????????????????????
"Giorgio902":
mi stranizza la parametrizazzione , io avrei usato una phi con x,y, sqrt(1-x^2)... questo mi lascia perplesso... cmq si poi sostituisci a z il suo valore e poi si potrebbe passare tranquillamente in coordinate polari
Eh mi ero sbagliato a scrivere XD
viene $Phi(x,y) = (x,y,sqrt(1-x^2))$
ecco 
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