Calcolo del flusso con il Teorema di Stokes
Salve a tutti, avrei bisogno di un chiarimento riguardo questo esercizio:
Mi si chiede di calcolare il flusso uscente dal campo vettoriale $ F(x,y,z)=(y,x^3,z^2) $ attraverso la superficie $ A={x^2+y^2+z^2=1;x>=0,y>=0 } $
orientata positivamente rispetto ad un osservatore posto come il versore normale uscente dalla sfera $ x^2+y^2+z^2=1 $
Ora, ho applicato la formula di Stokes $ int dl $ ed ho considerato il solo quarto di sfera, con i due bordi, uso sul piano xz e l'altro su quello yz e parametrizzato la frontiera tramite coordinate curvilinee. Alla fine ho calcolato l'integrale
$ int_(0)^(pi)<(sen(alpha ),cos^3(alpha),0)*(-sin(alpha),cos(alpha),0)> dx $
Dato che io ho due "bordi" simmetrici, come posso continuare? Moltiplicando semplicemente per 2?
Grazie,
Giuseppe
Mi si chiede di calcolare il flusso uscente dal campo vettoriale $ F(x,y,z)=(y,x^3,z^2) $ attraverso la superficie $ A={x^2+y^2+z^2=1;x>=0,y>=0 } $
orientata positivamente rispetto ad un osservatore posto come il versore normale uscente dalla sfera $ x^2+y^2+z^2=1 $
Ora, ho applicato la formula di Stokes $ int
$ int_(0)^(pi)<(sen(alpha ),cos^3(alpha),0)*(-sin(alpha),cos(alpha),0)> dx $
Dato che io ho due "bordi" simmetrici, come posso continuare? Moltiplicando semplicemente per 2?
Grazie,
Giuseppe
Risposte
Scusami, non ti seguo. Il teorema di Stokes dice che, sotto opportune ipotesi, si ha:
\[\int_\Omega \langle \nabla \times \mathbf{F}, \hat{\mathbf{n}} \rangle \ d\sigma = \int_{\partial \Omega} \langle \mathbf{F}, \hat{\mathbf{t}} \rangle \ ds\]
Ora, se l'esercizio richiede di calcolare il flusso di \(\mathbf{F}\) attraverso \(A\) hai due strade, calcolarlo direttamente, e quindi risolvere:
\[\int_A \langle \mathbf{F}, \hat{\mathbf{n}} \rangle \ d\sigma\]
Oppure utilizzare il teorema di Stokes. In questo secondo caso però devi risolvere un problema inverso, ovvero devi trovare un potenziale vettore \(\mathbf{A}\) di \(\mathbf{F}\) tale che \(\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{F}\). A questo punto quindi puoi utilizzare il teorema di Stokes ponendo:
\[\int_A \langle \mathbf{F}, \hat{\mathbf{n}} \rangle \ d\sigma = \int_A\langle \nabla \times \mathbf{A}, \hat{\mathbf{n}} \rangle \ d\sigma = \int_{\partial A} \langle \mathbf{A}, \hat{\mathbf{t}} \rangle \ ds\]
Una condizione necessaria affinché esista un potenziale vettore è che \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\), quindi in questo caso non puoi seguire questa seconda strada.
L'esercizio richiedeva esplicitamente di usare Stokes?
\[\int_\Omega \langle \nabla \times \mathbf{F}, \hat{\mathbf{n}} \rangle \ d\sigma = \int_{\partial \Omega} \langle \mathbf{F}, \hat{\mathbf{t}} \rangle \ ds\]
Ora, se l'esercizio richiede di calcolare il flusso di \(\mathbf{F}\) attraverso \(A\) hai due strade, calcolarlo direttamente, e quindi risolvere:
\[\int_A \langle \mathbf{F}, \hat{\mathbf{n}} \rangle \ d\sigma\]
Oppure utilizzare il teorema di Stokes. In questo secondo caso però devi risolvere un problema inverso, ovvero devi trovare un potenziale vettore \(\mathbf{A}\) di \(\mathbf{F}\) tale che \(\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{F}\). A questo punto quindi puoi utilizzare il teorema di Stokes ponendo:
\[\int_A \langle \mathbf{F}, \hat{\mathbf{n}} \rangle \ d\sigma = \int_A\langle \nabla \times \mathbf{A}, \hat{\mathbf{n}} \rangle \ d\sigma = \int_{\partial A} \langle \mathbf{A}, \hat{\mathbf{t}} \rangle \ ds\]
Una condizione necessaria affinché esista un potenziale vettore è che \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\), quindi in questo caso non puoi seguire questa seconda strada.
L'esercizio richiedeva esplicitamente di usare Stokes?
Si, dice di utilizzare Stokes. Io avevo calcolato il vettore tangente T e calcolato l'integrale sul bordo; ciò che non riesco a capire e come fare in questi casi quando si hanno due bordi
E quale formula hai applicato di Stokes? Devi calcolare il flusso di \(\mathbf{F}\) e non di \(\nabla \times \mathbf{F}\) 
Ho utilizzato questa $ int_(partialA )^() dl $
Ma così facendo stai calcolando il flusso del rotore di \(\mathbf{F}\) e non il flusso di \(\mathbf{F}\)!
\[\int_{\partial A} \langle \mathbf{F}, \hat{\mathbf{t}} \rangle \ dl = \int_A\langle \nabla \times \mathbf{F}, \hat{\mathbf{n}} \rangle \ d\sigma\]
\[\int_{\partial A} \langle \mathbf{F}, \hat{\mathbf{t}} \rangle \ dl = \int_A\langle \nabla \times \mathbf{F}, \hat{\mathbf{n}} \rangle \ d\sigma\]
Si scusami mi si chiede di calcolare il flusso del rotore, non l'ho scritto scusate 
"Giuseppe_M":
Si scusami mi si chiede di calcolare il flusso del rotore, non l'ho scritto scusate
Ah ok!
Allora ci siamo. Altrimenti come ti dicevo prima devi fare il ragionamento inverso ricavandoti un potenziale vettore._______
Risolto questo misunderstanding veniamo al tuo problema. La risposta è no, non puoi integrare solo su una parte del bordo e poi moltiplicare per due, perché, a meno il campo non sia particolarmente simmetrico e si stia molto attenti con l'orientazione del bordo, gli integrali su parti di bordo diverse hanno risultati diversi. Quindi devi fare il calcolo su tutta la frontiera. Che so, se chiami \(\gamma_1\) il bordo "che sale" e \(\gamma_2\) quello "che scende" hai \(\partial A = \gamma_1 \cup \gamma_2\) e calcoli:
\[\oint_{\partial A} = \int_{\gamma_1} + \int_{\gamma_1}\]
facendo attenzione ai versi di percorrenza
In questo caso però non è simmetrico dato che è una sfera ed essendo z ed x positivi entrambi i bordi vanno integrati da $ 0 $ a $ pi $ ?
Guarda, non saprei. L'unico consiglio che ti posso dare è: prova a farlo per intero, e poi con il metodo che dici tu e vieni se risulta uguale. Ci sono troppe variabili da tenere in considerazione (orientazione del bordo, simmetria del bordo e del campo) e io non mi sento sicuro a trarre conclusioni di questo tipo
Si ma occhio che i bordi sono orientati!
"Giuseppe_M":
In questo caso però non è simmetrico dato che è una sfera ed essendo z ed x positivi entrambi i bordi vanno integrati da $ 0 $ a $ pi $ ?
Si ma occhio che i bordi sono orientati!
Per il secondo integrale devo riparametrizzare il nuovo bordo, sempre in coordinate sferiche, utilizzando però un altro angolo, è corretto?
Beh sì, le parametrizzazioni dei due bordi dovranno differire di \(\pi/2\) ma anche per orientazione, non dimenticartelo!
Quindi la parametrizzazione del primo bordo sarà
$ { ( x=cos(alpha) ),( y=sin(alpha )),( z= 0 ):} $
con alpha tra 0 e pi
mentre quella del secondo non sarà
$ { ( x=cos(beta) ),( y=sin(beta)),( z= 0 ):} $
?
$ { ( x=cos(alpha) ),( y=sin(alpha )),( z= 0 ):} $
con alpha tra 0 e pi
mentre quella del secondo non sarà
$ { ( x=cos(beta) ),( y=sin(beta)),( z= 0 ):} $
?
Non mi pare. Ti sei fatto un grafico? Il primo pezzo bordo, \(\gamma_1\), dovrà giacere nel piano \(zx\) e il secondo, \(\gamma_2\), nel piano \(zy\), quindi significa che la componente \(y\) del primo e quella \(x\) del secondo devono essere nulle. Nelle parametrizzazioni riportate da te sono nulle invece entrambe le componenti \(z\) il che implicherebbe che il tutto si svolge nel piano \(xy\), ma non è così.
Parti dalla parametrizzazione della sfera:
\[\mathbf{r}(u, v) = (\cos{u} \sin{v}, \sin{u} \sin{v},\cos{v})\]
\(\gamma_1\) si otterrà ponendo \(u = 0\) e facendo variare \(v\) nell'intervallo \([-\pi /2, \pi/2]\) per restare nella regione \(x \ge 0\). \(\gamma_2\) si otterrà ponendo \(u = \pi/2\) e facendo variare \(v\) ancora nell'intervallo \([-\pi /2, \pi/2]\). Ora però bisogna stare attenti all'orientazione. Ci sei più o meno?
Parti dalla parametrizzazione della sfera:
\[\mathbf{r}(u, v) = (\cos{u} \sin{v}, \sin{u} \sin{v},\cos{v})\]
\(\gamma_1\) si otterrà ponendo \(u = 0\) e facendo variare \(v\) nell'intervallo \([-\pi /2, \pi/2]\) per restare nella regione \(x \ge 0\). \(\gamma_2\) si otterrà ponendo \(u = \pi/2\) e facendo variare \(v\) ancora nell'intervallo \([-\pi /2, \pi/2]\). Ora però bisogna stare attenti all'orientazione. Ci sei più o meno?
graficamente mi trovo una curva in xz(con $ x>=0 $ ) e l'altra in zx (con $ y>=0 $ )
con entrambi gli angoli negli intervalli $ [-pi/2,pi/2] $
Ora, scrivo F in coordinate sferiche?
(Scusami ma non ho mai calcolato il flusso del rotore con due bordi
)
con entrambi gli angoli negli intervalli $ [-pi/2,pi/2] $
Ora, scrivo F in coordinate sferiche?
(Scusami ma non ho mai calcolato il flusso del rotore con due bordi
)
"Giuseppe_M":
Scusami ma graficamente mi trovo una curva in xz(con $ x>=0 $ ) e l'altra in yz (con $ y>=0 $ )
Scusami avevo sbagliando a scrivere il piano, ora ho corretto. Ci sei con le parametrizzazioni dei bordi? Ora devi pensare all'orientazione...
Ho modificato il messaggio precedente, comunque ora mi scrivo F in coordinate sferiche?
EDIT:Forse ci sono, me li calcolo come due bordi "singoli", ovvero con due integrali siingoli e poi ne sommo i risultati?
EDIT:Forse ci sono, me li calcolo come due bordi "singoli", ovvero con due integrali siingoli e poi ne sommo i risultati?
"Giuseppe_M":
comunque ora mi scrivo F in coordinate sferiche?
E a che ti serve?
Ho posto per un bordo
$ { ( x=0 ),( y=sen(alpha) ),(z=cos(alpha )):} $
e per l'altro
$ { ( x=cos(beta) ),( y=sen(beta) ),(z=0):} $
il primo integrale si annulla e il secondo è $ -pi/16 $ , ma il risultato riportato sul libro è $ -pi/8 $
$ { ( x=0 ),( y=sen(alpha) ),(z=cos(alpha )):} $
e per l'altro
$ { ( x=cos(beta) ),( y=sen(beta) ),(z=0):} $
il primo integrale si annulla e il secondo è $ -pi/16 $ , ma il risultato riportato sul libro è $ -pi/8 $
No! Le equazioni del bordo non sono quelle.
In ogni caso ho fatto i calcoli con Mathematica e l'integrale mi risulta zero.
Per verificare ho calcolato il flusso del rotore attraverso la superficie e conferma il risultato di prima, ovvero risulta nullo. Il che è giustificato dal fatto che il rotore è simmetrico rispetto a \(z\) (addirittura non dipende da \(z\)) e quindi il flusso attraverso la calotta superiore è uguale e opposto a quello attraverso la calotta inferiore.
Se ti può servire il notebook Mathematica te lo allego. Magari ho sbagliato tutto ma se in tutti i due modi risulta zero mi pare difficile. Sotto l'immagine del flusso:
Se ho tempo ti posto i passaggi che ho fatto
In ogni caso ho fatto i calcoli con Mathematica e l'integrale mi risulta zero.
Per verificare ho calcolato il flusso del rotore attraverso la superficie e conferma il risultato di prima, ovvero risulta nullo. Il che è giustificato dal fatto che il rotore è simmetrico rispetto a \(z\) (addirittura non dipende da \(z\)) e quindi il flusso attraverso la calotta superiore è uguale e opposto a quello attraverso la calotta inferiore.
Se ti può servire il notebook Mathematica te lo allego. Magari ho sbagliato tutto ma se in tutti i due modi risulta zero mi pare difficile. Sotto l'immagine del flusso:
Se ho tempo ti posto i passaggi che ho fatto
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