Calcolo del Flusso
Salve a tutti, ho dei problemi con quest'esercizio
Calcolare il flusso di $ F=x i+y j+k $ attraverso il cerchio $ x^2+y^2=4 $ situato nel piano $ z=0 $ .
Ho pensato di calcolare il flusso usando il teorema della divergenza, per cui sostituendo in coordinate polari ho trovato che $ 0
Calcolare il flusso di $ F=x i+y j+k $ attraverso il cerchio $ x^2+y^2=4 $ situato nel piano $ z=0 $ .
Ho pensato di calcolare il flusso usando il teorema della divergenza, per cui sostituendo in coordinate polari ho trovato che $ 0
Risposte
Ma è un disco pieno o solo una circonferenza? Come mai ti butti subito sul teorema della divergenza e non imposti con la definizione di flusso?
è una circonferenza...ho provato a risolverlo usando la definizione di flusso, ma anche parametrizzando resto solo con una variabile definita, non riesco a definire l'intervallo della z. In che altro modo l'avresti risolto?
Abbiamo l'insieme:
\[\Omega := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \quad z = 0 \ \wedge \ x^2 + y^2 = 4\right\}\]
e il campo:
\[\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,1)^T\]
In questo caso non abbiamo una varietà bidimensionale (superficie) ma una varietà mono dimensionale (una curva). Allora possiamo utilizzare la definizione di flusso attraverso una curva:
\[\oint_\Omega \langle \mathbf{F},\mathbf{N} \rangle\]
Dove \(\mathbf{N}\) è il versore normale alla curva e \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) denota il prodotto scalare.
Dobbiamo trovare una parametrizzazione del nostro insieme \(\Omega\). Usiamo le coordinate cilindriche:
\[\mathbf{r}(\theta) = (2\cos{\theta},2\sin\theta,0) \quad \theta \in [0,2\pi)\]
Il nostro integrale diventerà quindi:
\[\int_0^{2\pi} \langle \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta)),\mathbf{N}(\theta) \rangle \ \text{d}\theta\]
Quindi basta calcolarsi il vettore tangente alla curva, fare il prodotto scalare e risolvere l'integrale.
Solitamente il flusso si definisce attraverso una superficie, questa è una definizione di flusso attraverso una curva presa da Pagani-Salsa non so quanto sia diffusa. Per quello inizialmente mi sembrava strano che non fosse un disco \(z = 0 \ \wedge \ x^2 + y^2 \le 4\).
\[\Omega := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \quad z = 0 \ \wedge \ x^2 + y^2 = 4\right\}\]
e il campo:
\[\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,1)^T\]
In questo caso non abbiamo una varietà bidimensionale (superficie) ma una varietà mono dimensionale (una curva). Allora possiamo utilizzare la definizione di flusso attraverso una curva:
\[\oint_\Omega \langle \mathbf{F},\mathbf{N} \rangle\]
Dove \(\mathbf{N}\) è il versore normale alla curva e \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) denota il prodotto scalare.
Dobbiamo trovare una parametrizzazione del nostro insieme \(\Omega\). Usiamo le coordinate cilindriche:
\[\mathbf{r}(\theta) = (2\cos{\theta},2\sin\theta,0) \quad \theta \in [0,2\pi)\]
Il nostro integrale diventerà quindi:
\[\int_0^{2\pi} \langle \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta)),\mathbf{N}(\theta) \rangle \ \text{d}\theta\]
Quindi basta calcolarsi il vettore tangente alla curva, fare il prodotto scalare e risolvere l'integrale.
Solitamente il flusso si definisce attraverso una superficie, questa è una definizione di flusso attraverso una curva presa da Pagani-Salsa non so quanto sia diffusa. Per quello inizialmente mi sembrava strano che non fosse un disco \(z = 0 \ \wedge \ x^2 + y^2 \le 4\).
Ok grazie mille!! 
ma in questo caso è sbagliato utilizzare il teorema della divergenza con un integrale doppio?
ma in questo caso è sbagliato utilizzare il teorema della divergenza con un integrale doppio?
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