Calcolo del differenziabile
Buongiorno, qualcuno mi potrebbe aiutare con questo problema? La continuità l'ho calcolato semplicemente facendo un cambio di variabile trovando soltanto i punti ove può essere continua, fatto bene? ma non so come impostare il limite per calcolare il differenziabile 
Risposte
mmmh, mi puzza... come hai fatto il cambio di variabili?
perché se hai fatto $t=x+y$ a cosa tende $t$ ?
Allora, partiamo dal concetto che un disegno vale più di mille parole... questa è una funzione che vale 2 fuori dal cerchio di raggio $2$ (circonferenza inclusa) mentre vale $x+y$ entro la circonferenza, centrata ovviamente nell'origine.
Trattandosi appunto di una circonferenza, è intelligente studiare il limite in coordinate polari. Per cui per la continuità vogliamo studiare il limite
$$
\lim_{\rho\to 2^-}|\rho(\cos\theta+\sin\theta)-2|=|2(\cos\theta+\sin\theta)-2|
$$
e scoprire per quali $\theta$ questo limite è nullo, in modo da avere la continuità.
quindi non ci resta che eguagliare il risultato del limite a zero e risolvere l'equazione in $\theta$; ovvero:
$$
|2(\cos\theta+\sin\theta)-2|=0
$$
che diventa
$$
\cos\theta+\sin\theta=1
$$
Non c'è bisogno di fare conti per notare che questa somma vale $1$ solo se $\theta=0+2k\pi$ oppure se $\theta=\pi/2 +2k\pi$ Quindi la funzione è continua solo nei punti $(0,2)$ e $(2,0)$ e chiaramente anche in tutto il resto del dominio che non comprende la circonferenza di raggio 2.
Ora la funzione è chiaramente differenziabile in tutto il dominio ad eccezione della circonferenza di raggio due, perché lontano dalla circonferenza abbiamo funzioni chiaramente differenziabili. Dobbiamo studiare la differenziabilità sulla circonferenza, ma non su tutta la circonferenza solo nei punti in cui la funzione è continua, ovvero $(2,0)$ e $(0,2)$, e a dire il vero ci basta studiare la differenziabilità solo in uno di questi punti poiché la funzione $x+y$ è invariante per rotazioni di novanta gradi, cioè per inversione degli assi quindi sarà differenziabile in un punto se e solo se è differenziabile nell'altro.
calcoliamo le derivate parziali, con le regole del calcolo otteniamo:
$$
f_y=f_x=\begin{cases}0 & \rho\geq 2 \\ 1 & \rho<2\end{cases}
$$
quindi le derivate parziali sono nulle nei punti previo indicati, perché tali punti appartengono alla circonferenza.
Per cui il gradiente è nullo, in tali punti.
Quindi dovremmo studiare il limite ad esempio di
$$
\lim_{(x,y)\to (0,2)}\frac{x+y-2}{||(x,y)-(0,2)||}
$$
e scoprire se tale limite è uguale a zero oppure no...
Si può dimostrare addirittura che tale limite non esiste, ma a noi non interessa fare tutta questa fatica ci basta far vedere che esiste un percorso in cui questo limite non è uguale a zero... ma questo è semplicissimo basta muoversi sull'asse $y$, cioè porre $x=0$ per vedere che questo limite è uguale a $1$ perciò la funzione non è differenziabile nel punto $(0,2)$ e per simmetria non è differenziabile neppure in $(2,0)$ .
perché se hai fatto $t=x+y$ a cosa tende $t$ ?
Allora, partiamo dal concetto che un disegno vale più di mille parole... questa è una funzione che vale 2 fuori dal cerchio di raggio $2$ (circonferenza inclusa) mentre vale $x+y$ entro la circonferenza, centrata ovviamente nell'origine.
Trattandosi appunto di una circonferenza, è intelligente studiare il limite in coordinate polari. Per cui per la continuità vogliamo studiare il limite
$$
\lim_{\rho\to 2^-}|\rho(\cos\theta+\sin\theta)-2|=|2(\cos\theta+\sin\theta)-2|
$$
e scoprire per quali $\theta$ questo limite è nullo, in modo da avere la continuità.
quindi non ci resta che eguagliare il risultato del limite a zero e risolvere l'equazione in $\theta$; ovvero:
$$
|2(\cos\theta+\sin\theta)-2|=0
$$
che diventa
$$
\cos\theta+\sin\theta=1
$$
Non c'è bisogno di fare conti per notare che questa somma vale $1$ solo se $\theta=0+2k\pi$ oppure se $\theta=\pi/2 +2k\pi$ Quindi la funzione è continua solo nei punti $(0,2)$ e $(2,0)$ e chiaramente anche in tutto il resto del dominio che non comprende la circonferenza di raggio 2.
Ora la funzione è chiaramente differenziabile in tutto il dominio ad eccezione della circonferenza di raggio due, perché lontano dalla circonferenza abbiamo funzioni chiaramente differenziabili. Dobbiamo studiare la differenziabilità sulla circonferenza, ma non su tutta la circonferenza solo nei punti in cui la funzione è continua, ovvero $(2,0)$ e $(0,2)$, e a dire il vero ci basta studiare la differenziabilità solo in uno di questi punti poiché la funzione $x+y$ è invariante per rotazioni di novanta gradi, cioè per inversione degli assi quindi sarà differenziabile in un punto se e solo se è differenziabile nell'altro.
calcoliamo le derivate parziali, con le regole del calcolo otteniamo:
$$
f_y=f_x=\begin{cases}0 & \rho\geq 2 \\ 1 & \rho<2\end{cases}
$$
quindi le derivate parziali sono nulle nei punti previo indicati, perché tali punti appartengono alla circonferenza.
Per cui il gradiente è nullo, in tali punti.
Quindi dovremmo studiare il limite ad esempio di
$$
\lim_{(x,y)\to (0,2)}\frac{x+y-2}{||(x,y)-(0,2)||}
$$
e scoprire se tale limite è uguale a zero oppure no...
Si può dimostrare addirittura che tale limite non esiste, ma a noi non interessa fare tutta questa fatica ci basta far vedere che esiste un percorso in cui questo limite non è uguale a zero... ma questo è semplicissimo basta muoversi sull'asse $y$, cioè porre $x=0$ per vedere che questo limite è uguale a $1$ perciò la funzione non è differenziabile nel punto $(0,2)$ e per simmetria non è differenziabile neppure in $(2,0)$ .
Grazie mille!!![emoji1] [emoji1] [emoji1] [emoji1] ti sei spiegato benissimo! ! C:
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