Calcolo dei punti critici

[frons79]

Si consideri la funzione reale di due variabili reali definita da \(\displaystyle f(x,y)=x^4+y^4-2(x^2+y^2)+4xy
\).
Determinarne i suoi punti critici.
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Dopo aver calcolato le due derivate parziali prime:
\[
f_x(x,y)=4x^3-4x+4y \\
f_y(x,y)=4y^3-4y+4x
\]
non riesco a trovare i punti che annullino il gradiente:
\[
\begin{cases}
x^3-x+y=0 \\
y^3-y+x=0
\end{cases}
\begin{cases}
x=x^3+y \\
x^3+y^3=0
\end{cases}
\begin{cases}
x=x^3+y \\
(x+y)(x^2-xy+y^2)=0
\end{cases}
\]
In particolare, cercando le radici di \(\displaystyle x^2-xy+y^2=0 \) ottengo \(\displaystyle \Delta <0 \) quindi panico!
C'è qualcuno che riesca ad aiutarmi?

[billyballo2123]

Ciao! Dall'equazione $x^3+y^3=0$ ricavi $y^3=-x^3$, ed estraendo la radice cubica ottieni $y=-x$. Se ora sostituisci questo risultato in $x=x^3+y$ ottieni $x=x^3-x$, ovvero $x(x^2-2)=0$.

[frons79]

Grazie! Come punti critici, a conti fatti, mi risultano:
\[
P_1(0;0) \\
P_2(1;-1) \\
P_3(-1;1)
\]

[billyballo2123]

uhm... dovrebbero essere $(0,0)$, $(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ e $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$

[frons79]

"billyballo2123":uhm... dovrebbero essere $(0,0)$, $(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ e $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$

Si, esatto