Calcolo dei Limiti: sostituire o no?
Il mio professore di analisi, nella lezione riguardante i limiti, si è raccomandato, che NON bisogna assolutamente sostituire il mero valore di x con zero, poichè in quel caso è come se stessi vedendo quanto vale la funzione in quel punto.
Ma bisogna sostituire valori VICINI alla x. E' giusto? ma in che senso?
Perchè è diffusa l'opinione che bisogna solamente sostituire il valore della x? Qual è la verità?
grazie
Ma bisogna sostituire valori VICINI alla x. E' giusto? ma in che senso?
Perchè è diffusa l'opinione che bisogna solamente sostituire il valore della x? Qual è la verità?
grazie
Risposte
"Baldur":
Qual è la verità?
Addirittura la verità vai cercando?
Ad ogni modo il prof ha sempre ragione per definizione, e direi anche in questo caso.
Ora tocca a te riflettere un po', prova con questa
$f(x)=x^2+1$ se$ x!=0$
$f(x)=0$ se $x=0$
Ahaha 
Ok, però che significa sostituire valori vicini? Vicini quanto? Ad Un limite che tende a più infinito, vanno sostituiti valori da destra o da sinistra, di più infinito?
Ok, però che significa sostituire valori vicini? Vicini quanto? Ad Un limite che tende a più infinito, vanno sostituiti valori da destra o da sinistra, di più infinito?
Di per se direi che è un problema ‘complesso’ approcciato in maniera un po’ frivola.
Cominciamo con il discretizzare il limite considerando una successione \(\{x_i\}_{i\in \mathbb{N}} \) con \(x_i\to x \). A questo punto puoi fare il limite della successione \(\{f(x)_i\}_{i\in \mathbb{N}} \) e supporre che questo sia uguale al limite della funzione data in \(x \). Il problema è che se tu consideri una successione \(\{y_i\}_{i\in \mathbb{N}} \) diversa il limite potrebbe essere diverso. Quindi lo stesso processo di sostituire un valore alla \(x \) è di per se piuttosto ingannevole. Il limite è una proprietà della funzione o del suo grafico e non di singoli punti o di un numero numerabile di punti. In particolare non dipende dal particolare valore che la funzione assume in quel punto.
Quando tu calcoli il limite in realtà lavori con ‘immagini di intervalli chiusi’ (eventualmente intersecati con il dominio) e non con valutazioni della funzione in punti. Dopo di che pian piano prendi intervalli sempre più piccoli in modo che la sua immagine si restringa sempre di più. Il procedimento condurrà ad un certo insieme, eventualmente vuoto, di punti (il limite esiste se c'é un solo punto).
Cominciamo con il discretizzare il limite considerando una successione \(\{x_i\}_{i\in \mathbb{N}} \) con \(x_i\to x \). A questo punto puoi fare il limite della successione \(\{f(x)_i\}_{i\in \mathbb{N}} \) e supporre che questo sia uguale al limite della funzione data in \(x \). Il problema è che se tu consideri una successione \(\{y_i\}_{i\in \mathbb{N}} \) diversa il limite potrebbe essere diverso. Quindi lo stesso processo di sostituire un valore alla \(x \) è di per se piuttosto ingannevole. Il limite è una proprietà della funzione o del suo grafico e non di singoli punti o di un numero numerabile di punti. In particolare non dipende dal particolare valore che la funzione assume in quel punto.
Quando tu calcoli il limite in realtà lavori con ‘immagini di intervalli chiusi’ (eventualmente intersecati con il dominio) e non con valutazioni della funzione in punti. Dopo di che pian piano prendi intervalli sempre più piccoli in modo che la sua immagine si restringa sempre di più. Il procedimento condurrà ad un certo insieme, eventualmente vuoto, di punti (il limite esiste se c'é un solo punto).
Quello che il tuo professore cerca di dirti è che nel calcolo dei limiti non si va semplicemente ad inserire un valore all'interno della funzione, altrimenti quello, giustamente, sarebbe il valore della funzione in quel punto.
Quando vai a calcolarti un limite è sempre bene tenere a mente il grafico della funzione.
Prendi ad esempio:
$lim_(x->0) 1/x$
Il cui grafico è questo:
Vedi che se hai in testa il concetto di "sostituzione", comprendi bene che in 0 la funzione non è definita. Ma se lì vai ad applicare la definizione di limite, chiaramente il valore limite esiste ed è $\+infty$ per $0^+$ e $\-infty$ per $0^-$
Quindi credo che il tuo professore cerchi solo di farti capire il concetto di limite.
Spero di essere stato d'aiuto.
Quando vai a calcolarti un limite è sempre bene tenere a mente il grafico della funzione.
Prendi ad esempio:
$lim_(x->0) 1/x$
Il cui grafico è questo:
Vedi che se hai in testa il concetto di "sostituzione", comprendi bene che in 0 la funzione non è definita. Ma se lì vai ad applicare la definizione di limite, chiaramente il valore limite esiste ed è $\+infty$ per $0^+$ e $\-infty$ per $0^-$
Quindi credo che il tuo professore cerchi solo di farti capire il concetto di limite.
Spero di essere stato d'aiuto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo