Calcolo dei limiti
Ciao ragazzi mi sono iscritto proprio adesso ma è da un'pò che vi leggo e devo dire che è un bellissimo sito,parlando di matematica allora.. Ho da svolgere questi limiti uno l'ho risolto,il risultato è giusto però non sò se il procedimento è giusto o se è un'pò forzato,allora questo è quello che ho risolto:
\[
\lim_{x\to 0^+} \frac{\log (x^x+1-\cos x)}{x\log x}\; .
\]
allora quello sotto l'ho scritto come \(\log x^x\) poi ho sostituto ponendo \(t=x^x-cosx\) quindi il limite viene:
\[
\lim_{t\to 0^+} \frac{ \log(1+t)}{\log (\cos x+t)}
\]
sostituendo mi viene \(\frac{e}{e}=1\).
ORA vi dico quello che in cui mi sono bloccato: lim per x->più infinito (log(x+3)-log(x+2))4/logx allora l'unica cosa che sono riuscito a fare è applicare la proprietà dei logaritmi quindi ho scritto la base come (log(x+3)/(x+2)) ora ho provato a raccogliere ma non non mi viene fuori niente !!
grazie per la disponibilità.lorenzo
\[
\lim_{x\to 0^+} \frac{\log (x^x+1-\cos x)}{x\log x}\; .
\]
allora quello sotto l'ho scritto come \(\log x^x\) poi ho sostituto ponendo \(t=x^x-cosx\) quindi il limite viene:
\[
\lim_{t\to 0^+} \frac{ \log(1+t)}{\log (\cos x+t)}
\]
sostituendo mi viene \(\frac{e}{e}=1\).
ORA vi dico quello che in cui mi sono bloccato: lim per x->più infinito (log(x+3)-log(x+2))4/logx allora l'unica cosa che sono riuscito a fare è applicare la proprietà dei logaritmi quindi ho scritto la base come (log(x+3)/(x+2)) ora ho provato a raccogliere ma non non mi viene fuori niente !!
grazie per la disponibilità.lorenzo
Risposte
@fuce93: Ho messo a posto le prime formule usando il MathJax.
Potresti inserire le altre formule in maniera corretta?
Per il resto, nota che nel primoo limite, dopo la sostituzione, ti è rimasta una \(x\) che non dovrebbe esserci.
Potresti inserire le altre formule in maniera corretta?
Per il resto, nota che nel primoo limite, dopo la sostituzione, ti è rimasta una \(x\) che non dovrebbe esserci.
aspetta come faccio ad usare il mathjax? cmq ho capito quello che dici quindi la x del coseno è uguale alle radice di cosx+t però così la x rimane,quindi ho sbagliato a sostituire?
"fuce93":
aspetta come faccio ad usare il mathjax?
Clicca qui.
Tuttavia se usi il testo modifica, vedrai come ho corretto le tue formule e, se ci ragioni un po' per analogia, riuscirai lo stesso a capire i meccanismi/trucchi di base.
"fuce93":
cmq ho capito quello che dici quindi la x del coseno è uguale alle radice di cosx+t però così la x rimane,quindi ho sbagliato a sostituire?
Sì, la sostituzione è sbagliata.
ok ma allora come devo partire per svolgere questi limiti?
Beh, ad esempio puoi usare Taylor.
Hai \(e^z =1+z+\text{o}(z)\) e \(1-\cos x = \frac{1}{2}x^2 +\text{o}(x^2)\) vicino a \(0\), quindi:
\[
x^x =e^{\log x^x}=1+\log x^x +\text{o}(\log x^x)=1+x\log x +\text{o}(x\log x)\; ,
\]
perciò:
\[
\tag{1} x^x+1-\cos x=1+x\log x +\text{o}(x\log x) +\frac{1}{2}\ x^2+\text{o}(x^2)\; ;
\]
ma è:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x\log x}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\log x}=0
\]
perciò \(\frac{1}{2}\ x^2\) è un \(\text{o}(x\log x)\) (e conseguentemente \( \text{o}(x^2) = \text{o}(\text{o}(x\log x)) =\text{o}(x\log x)\)) e la (1) si riscrive:
\[
\tag{2} x^x+1-\cos x=1+x\log x +\text{o}(x\log x)\; .
\]
Quindi intorno a \(0\) si ha:
\[
\log (x^x+1-\cos x)=\log (1+x\log x +\text{o}(x\log x))
\]
e per lo sviluppo del logaritmo (cioè \(\log (1+w)=w+\text{o}(w)\) vicino a \(0\)) è:
\[
\log (x^x+1-\cos x)= x\log x+\text{o}(x\log x)+\text{o}(x\log x+\text{o}(x\log x))=x\log x+\text{o}(x\log x)\; ,
\]
il che implica infine:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\log (x^x+1-\cos x)}{x\log x}=\lim_{x\to 0} \frac{x\log x+\text{o}(x\log x)}{x\log x}=1\; .
\]
Hai \(e^z =1+z+\text{o}(z)\) e \(1-\cos x = \frac{1}{2}x^2 +\text{o}(x^2)\) vicino a \(0\), quindi:
\[
x^x =e^{\log x^x}=1+\log x^x +\text{o}(\log x^x)=1+x\log x +\text{o}(x\log x)\; ,
\]
perciò:
\[
\tag{1} x^x+1-\cos x=1+x\log x +\text{o}(x\log x) +\frac{1}{2}\ x^2+\text{o}(x^2)\; ;
\]
ma è:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x\log x}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\log x}=0
\]
perciò \(\frac{1}{2}\ x^2\) è un \(\text{o}(x\log x)\) (e conseguentemente \( \text{o}(x^2) = \text{o}(\text{o}(x\log x)) =\text{o}(x\log x)\)) e la (1) si riscrive:
\[
\tag{2} x^x+1-\cos x=1+x\log x +\text{o}(x\log x)\; .
\]
Quindi intorno a \(0\) si ha:
\[
\log (x^x+1-\cos x)=\log (1+x\log x +\text{o}(x\log x))
\]
e per lo sviluppo del logaritmo (cioè \(\log (1+w)=w+\text{o}(w)\) vicino a \(0\)) è:
\[
\log (x^x+1-\cos x)= x\log x+\text{o}(x\log x)+\text{o}(x\log x+\text{o}(x\log x))=x\log x+\text{o}(x\log x)\; ,
\]
il che implica infine:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\log (x^x+1-\cos x)}{x\log x}=\lim_{x\to 0} \frac{x\log x+\text{o}(x\log x)}{x\log x}=1\; .
\]
grazie per la soluzione però noi taylor non lo abbiamo ancora fatto fai conto abbiamo finito gli infinitesimi... non credo il professore ci abbia dato un esercizio che si risolve solo con taylor,in effetti mi sono scordato di dirlo a inizio post..grazie ancora cmq.
aspetta non ho capito il tuo ragionamento cioè sostituisci brutalmente la x però lo fai due volte,poi non capisco perchè fai la frazione tra gli argomenti dei logaritmi
scusa mi sono spiegato male cioè anchio avevo fatto il solito ragionamento è che non riesco a risolverla ''algebricamente'' perchè così dovrei sostituire 2 volte la x perchè sopra svolgo il limite e viene log1/log1 che però è 0/0
si ma c'è quel coseno che tende a 0 che non si può considerare secondo me brutalmente 0. boh domani forse o dopodomani il professore ci dirà la soluzione grazie a tutti comunque
"fuce93":
grazie per la soluzione però noi taylor non lo abbiamo ancora fatto fai conto abbiamo finito gli infinitesimi... non credo il professore ci abbia dato un esercizio che si risolve solo con taylor,in effetti mi sono scordato di dirlo a inizio post..grazie ancora cmq.
Ciao!
Allora hai pochi mezzi a disposizione,ma non demordiamo:
che $EElim_(xto0^+)x^x=1$ lo sai,vero?
Credo di si,altrimenti non potevi accorgerti che il limite assegnato si presenta nella forma indeterminata $[0/0]$;
osserva allora che in un opportuno intorno destro di 0 avrai:
$(log(x^x+1+cosx))/(xlogx)=(logx^x(1+(1-cosx)/(x^x)))/(xlogx)=(log(x^x)+log(1+(1-cosx)/(x^x)))/(xlogx)=$
$=(xlogx+log(1+(1-cosx)/(x^x)))/(xlogx)=1+(log(1+(1-cosx)/(x^x)))/(xlogx)=1+1/logxlog(1+(1-cosx)/(x^x))/((1-cosx)/(x^x))(1-cosx)/(x^x)1/x=$
$=1+1/logxlog(1+(1-cosx)/(x^x))/((1-cosx)/(x^x))(1-cosx)/x1/(x^x)cdots..$
Per quel che mi pare d'aver capito disponi in questo momento non vedo altre possibilità:
tieni però conto che così và bene ora,
ma è un pò "diseducativo" perchè in futuro il metodo migliore per casi del genere sarà quello suggerito dal moderatore Gugo.
Saluti dal web.
grazie stamattina proprio un mio compagno di corso mi ha fatto vedere questa soluzione,bhe comunque vi ringrazio tantissimo
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