Calcolo degli integrali doppi

[crio1]

Buona sera ho svolto questo esercizio ma a quanto pare mi esce l'integrale zero. se provo a spezzare il dominio in due parti mi esce diverso da zero.

vi faccio vedere i passaggi che ho fatto:

allora il problema richiede di calcolare l'integrale doppio della seguente funzione :

$ D={(x,y)in R| 1<=x^2+y^2<=4,y<=-|x| } $

$ int int_(D)xy dx dy $



ho fatto un cambiamento di coordinate ed ottengo:

$ { ( x=rho costheta ),( y=rhosenvartheta ):} $

$ jacobiano := rho $

allora poi sostituendo ottengo che $1<=rho<=2$ come ci si aspettava e $5/4 pi <=theta<=7/4pi$

impostando l'integrale doppio ottengo :

$ int_(1)^(2)rho^3d rho int_(5/4pi)^(7/4pi)cos(theta)*sen(theta) d theta $

e questo integrale se si svolgono un po di calcoli fa zero.

se considero solo meta pezzo e poi moltiplico l'integrale per 2 ottengo: intanto $1<=rho<=2$ e $3/2 pi <=theta<=7/4pi$

e questo è l'inegrale

$2*( int_(1)^(2)rho^3d rho int_(3/2pi)^(7/4pi)cos(theta)*sen(theta) d theta) $ da calcoli è unguale a $-15/16$

vorrei un parere se ho sbagliato e o non ho considerato qualcosa

[Quinzio]

se considero solo meta pezzo e poi moltiplico l'integrale per 2 ottengo:

Chi ti dice che l'integrale dell'altro pezzo è uguale al primo ?

[Brancaleone1]

"crio":
se considero solo meta pezzo e poi moltiplico l'integrale per 2

Guarda qui

[crio1]

Giusto :/ , e a questo punto non mi capacito perché venga zero quello fatto in tutto il mio dominio che ho considerato , secondo te come mai ?

[Brancaleone1]

Perché non ti capaciti?
L'integrale assume positivo il volume che si trova "sopra" il piano e negativo quello "sotto" il piano. Se la somma di questi volumi è nulla (cioé integrale = 0) cosa significa?

Grafico della funzione $f(x,y)=xy$ intersecato dal piano $z=0$:

[crio1]

bè potrebbe significare che la funzione sia dispari , quindi mi dici che lo svolgimento è giusto ?

[Brancaleone1]

Non so se si può affermare che sia dispari (rispetto a cosa?) ma certamente la prima parte annulla la seconda

[crio1]

poi la seconda parte dell'esercizio chiede di trovare un appropriato integrale di linea percorso in senso antiorario verso positivo con le formule di gauss green e verificare se il risultato sia uguale.

allora io ho fatto cosi poi dimmi se è giusto:

intanto parametrizzo tutte le curve che ci sono:
Gamma 1 è il pezzettino di circonferenza piu grande , poi risalgo con Gamma 2 il segmento della retta y=-x ritorno indietro con il pezzettino di circonferenza piu piccolo Gamma 3 e riscendo con Gamma 4 il segmento della retta y=x di sotto ti riporto le parametrizzazioni:

$ gamma 1:{ ( x=2costheta ),( y=2sentheta ):} $ con teta che va da $[5/4pi,7/4pi]$ ${ ( dx=-2sentheta ),( dy=2costheta ):} $

$ gamma 2:{ ( x=sqrt(2)-sqrt(2)/2t ),( y=-sqrt(2)+sqrt(2)/2t ):} $ con t che va da $[0,1]$ ${ ( dx=-(sqrt(2)/2) ),( dy=(sqrt(2)/2) ):} $

$ gamma 3:{ ( x=costheta ),( y=sentheta ):} $ con teta che va da $[7/4pi,5/4pi]$ ${ ( dx=-sentheta ),( dy=costheta ):} $

$ gamma 4:{ ( x=-sqrt(2)/2-sqrt(2)/2t ),( y=sqrt(2)/2-sqrt(2)/2t ):} $con t che va da $[0,1]$ ${ ( dx=-sqrt(2)/2 ),( dy=-sqrt(2)/2 ):} $

ora scrivo l'integrale doppio come integrale singolo , uso la prima formula di green

$ int int_(D)((partial P)/(partial x)-(partial Q)/(partial y)) dx dy =int_(deltaD ) f dy $

e ottengo dopo tutti i calcoli che :

$((partial P)/(partial x)-(partial Q)/(partial y))=xy$

quindi poi mi semplifico la cosa e dico che Q=0 e mi trovo questo integrale di linea:

$ int_(gamma) x^2/2y dy $

è giusto come procedimento ?? appurato che il doppio faccia zero ora devo vedere se è zero anche questo

[Quinzio]

"crio":
e ottengo dopo tutti i calcoli che :

$ ((partial P)/(partial x)-(partial Q)/(partial y))=xy $

Quali calcoli ?

Gauss-Green dice che

$\int_(\partialD)Qdx+Pdy=\int\int_D((\partialP)/(\partialx)-(\partialQ)/(\partialy))\ dx\ dy$

Per te $(\partialP)/(\partialx)-(\partialQ)/(\partialy)=x$

Quindi uno arbitrariamente in questo caso mette $Q=0$ e ottiene

$(\partialP)/(\partialx)=x$

quindi $P=(x^2)/(2)$.

Adesso devi valutare

$\int_(\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3+\gamma_4)(x^2)/(2)dy$

[crio1]

Ti sbagli devo valutare questo integrale $int_(gamma) x^2/2ydy$
Perché ho questa uguaglianza : $ (partialP)/(partial x) - (partial Q)/(partial y) = xy $
E per Q=0 ho : $(partialP)/(partial x)=xy $ da cui integrando trovo il primo risultato