Calcolo convoluzione tra triangolo e rettangolo

[merendina_891]

Salve a tutti ragazzi,
devo calcolare la convoluzione tra un triangolo ed un rettangolo in un ben determinato intervallo.
le mie due funzioni $ f(x) $ e $ g(x) $ sono le seguenti:


$ f(t)= 2 $ --------> per $ 2<=t<=4 $-------------> funzione rettangolo
$ g(t)= -t+4 $ -------> per $ 2<=t<=4 $ -------------> funzione triangolo

le due funzione sono nulle per tutti gli altri valori di t al di fuori dell'intervallo $ [2;4] $;
Ora,detto questo io sono interessato a calcolare la convoluzione di queste due funzioni nell'intervallo $ t in [0,6] $.

E'corretto svolgere la consegna in questa maniera??

$ \int_6^8 g(tau)$*$ f(t-tau) \ \text{d} tau = \int_6^8 f(tau)$ *$ g(t-tau) \ \text{d} tau $

Ovvero limito l'operazione di integrale nell'intervallo $ t in [6;8] $.

dunque,sostituendo nel nostro specifico caso si ottiene:

$ \int_6^8 2$ *$(-(t-tau)+4) \ \text{d} tau = \int_6^8 (-t+4)$*$ 2 \ \text{d} tau = 2 (-t+4) \int_6^8 \ \text{d} tau $

come faccio però a ottenere il valore desiderato??



P.S. colgo l'occasione per chiedere come si inserisce il simbolo di convoluzione su Text,in quanto non riesco a metterlo.Ho tuttavia per evitare confusioni inserito il simbolo $ * $ che sulla tastiera risulta * (asterisco)

[Quinzio]

.....

[chisigma]

Una delle principali pregi della Trasformata di Fourier e della Trasformata di Laplace [oltre alle innumerevoli altre Trasformate...] e' quella di 'trasformare' l'operazione di convoluzione in un semplice prodotto algebrico, assai piu' semplice da effettuare...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[Quinzio]

Più semplice e quindi col risultato che uno non capisce mai a fondo quello che sta facendo e si arriva a studiare la convoluzione dimenticando le regole di integrazione.
Forse gli è stato chiesto di risolvere l'esercizio senza le trasformate.

[chisigma]

Molto bene!... in tal caso ritengo sia estremamente utile concettualmente osservare gli 'esempi animati' che si trovano qui...

http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[merendina_891]

scusate ragazzi,ma io proprio non ho capito.
Sono da quando avete postato le prime risposte che cerco di risolverlo,ma non capisco proprio come fare.
Davvero..

[Quinzio]

Intanto devi dirci COME dovresti risolverlo:
- passando per le Trasformate (come ha suggerito Chisigma)
- oppure scrivendo direttamente gli integrali come avevi iniziato a fare ?

[merendina_891]

Ciao Quinzio,
per le trasformate è un'ottima idea,ma diciamo che sono "costretto" a calcolarlo in questa maniera sia per capire come fare la convoluzione sia perché me lo richiede la consegna.
In ogni caso:

ho due funzioni $ f(t) $ e $ g(t) $,una rettangolo e triangolo rispettivamente:
La prima funzione, $ f(t) $ è definita come:

$ f(t) = 2 $ per $ 2= FUNZIONE RETTANGOLO
$g(t)=-t+4 $ per $ 2= FUNZIONE TRIANGOLO

Entrambe le funzioni sono nulle al di fuori dell'intervallo $ t in [2;4]$;
per la definizione di convoluzione:


$f(t)\starg(t)= $ $\ \int_{-infty}^{infty} g(tau) f(t-tau)\ \text{d} tau $$ = $ $ \ \int_{-infty}^{infty} f(tau) g(t-tau)\ \text{d} tau $


Questa è la definizione di calcolo della convoluzione tra $ f(t)$ e $ g(t) $.
Naturalmente sta a me decidere se "ribaltare" e far traslare la $ f(t) $ o la $ g (t) $ rispettivamente.
Facciamo allora traslare la $ g(t) $ mantenendo invariata la prima funzione.
Abbiamo:
$f(t)\starg(t)= $ $\ \int_{-infty}^{infty} g(tau) f(t-tau)\ \text{d} tau $
da cui:
$\ \int_{}^{} 2 * [ -(t-tau)+4]\ \text{d} tau $

Fino a qui siamo tutti d'accordo,ora il problema è:
GLI ESTREMI DI INTEGRAZIONE QUALI SONO??
Naturalmente per definizione la convoluzione va da $ - infty $ a $ infty$.
Nel nostro caso però le due funzioni sono comprese solamente tra 2 e 4.
Pertanto inizierà ad essere non nullo tale prodotto da t=4 e t= 8 (inizia quando una delle due entra e finisce quando una delle due è uscita)..
L'integrale in se non è difficile,ma non riesco a capire come tradurre matematicamente il tutto.

[merendina_891]

Posso anche affermare che l'integrale sarà nullo per tutti quei valori al di fuori di $ t in (4;8] $.
Questo perché ho considerato la funzione triangolo $ g(-tau) $, dunque ribaltata rispetto l'asse delle ordinate.
Ora la domanda è: di quanto devo far scorrere il triangolo $ g(-tau) $ ribaltato affinché questo possa passare nel rettangolo (in realtà non mi sono espresso benissimo,ma spero comprendiate).
la risposta è per tutti quei valori superiori a t=4 (perché per t=0 non vi è intersezioni tra le due funzione anche se sono affiancate) e t = 8vi è una convoluzione non nulla.
Ora però,dal punto di vista analitico il tutto si traduce nel calcolo di un integrale che ho scritto sopra.
Come posso valutare gli estremi di integrazione affinché si possa in maniera corretta valutare la convoluzione tra questi due segnali??

[merendina_891]

Qualcuno mi può aiutare??

[merendina_891]

Ok,sono ora arrivato alla seguente conclusione.
Ho deciso di "ribaltare" la funzione rettangolo la quale risulta identica anche ribaltata.
Pertanto l'integrale da calcolare è il seguente:

$\ \int_4^t 2* (-tau +4) \ \text{d} tau = 2 * [ \ \int_4^t -tau \ \text{d} tau + \ \int_4^t 4 \ \text{d} tau ] $

Analogamente potevo anche calcolare nella seguente maniera.

$\ \int_4^t 2* [ -(t-tau) +4] \ \text{d} tau = 2 * { \ \int_4^t -t \ \text{d} tau + \ \int_4^t tau \ \text{d} tau + \ \int_4^t 4 \ \text{d} tau ] $

HO APPLICATO LETTERALMENTE LA DEFINZIONE DI CONVOLUZIONE SIA IN UN CASO CHE NELL'ALTRO. SE NON HO COMMESSO ERRORI SUCCESSIVAMENTE MI DOVRANNO TORNARE DEI VALORI UGUALI.

Ho preso come estremi di integrazione $ [4; t] $ perché se ribalto la funzione (triangolo o rettangolo che sia) rispetto all'asse delle ordinate,affinché si possa avere una convoluzione non nulla si deve avere una traslazione di 4.
Risolvendo però si ottengono valori distinti.
Qualcuno mi potrebbe aiutare,non riesco a capire cosa sbaglio..
Vi ringrazio anticipatamente

[Quinzio]

Arrivo subito al dunque sperando che i passaggi per arrivare qui diventino chiari.
La funzione è divisa in due tratti, uno da 4 a 6, e poi da 6 a 8.
Gli integrali vanno risolti come normalissimi integrali nella variabile $\tau$ e la $t$ riamane incognita.


${(0,,,,,t \le 4),(\int_2^(t-2)\ 2(-(t-\tau)+4)\ d\tau,,,,,4

Cita

Segnala

[merendina_891]

Certo certo!! perfetto,è chiaro!! ho capito ed è logico anche che siano così gli estremi di integrazione.
Ho fatto lo stesso esempio con due rettangoli per verificare se avevo capito!!
Thanks!!
Buona serata..!!