Calcolo convergenza serie

[Gianni911]

Ciao a tutti ,
qualcuno di voi potrebbe aiutarmi con il il calcolo di questa serie??
1)Condizione necessaria verificata,con esito positivo
2)Per il calcolo della convergenza,avevo pensato al criterio del confronto,ma non so bene quale funzione,sia simile a questa per poterla confrontare..

$ sum_(n = 1)^(oo) [sin((n+1)/(n+800))]^n $

grazie!!

[ciampax]

Hai provato a vedere in che intervallo cadono i valori dell'argomento della funzione seno? Potresti confrontare la serie con una geometrica.

[Gianni911]

scusami,non ho capito bene cosa dovrei fare,comunque sicuramente con una geometrica dovrei risolvere ,ma a questo punto quale??

[pumba91]

Io userei invece il criterio della radice, il risultato lo si ottiene immediatamente!

[ciampax]

"pumba91":Io userei invece il criterio della radice, il risultato lo si ottiene immediatamente!

Per usarlo, devi prima dimostrare che la serie è a termini positivi. Comunque, ecco come procedere: poiché

[tex]$\frac{n+1}{n+800}=\frac{n+800-799}{n+800}=1-\frac{799}{n+800}<1$[/tex]

ed essendo pure [tex]$n\ge 1\ \Rightarrow\ n+800\ge 801\ \Rightarrow\ \frac{799}{n+800}\le \frac{799}{801}$[/tex]

si deduce che

[tex]$\frac{n+1}{n+800}\ge 1-\frac{799}{801}=\frac{2}{801}>0$[/tex]

e infine

[tex]$0<\sin\frac{n+1}{n+800}<\sin 1<1$[/tex]

Pertanto i valori della funzione seno sono sempre compresi tra $0$ e $1$ e non raggiungono mai nessuno di questi termini. A questo punto per confronto con la serie geometrica $\sum_{n=1}^\infty \sin^n 1$ che converge poiché $\sin 1<1$ puoi concludere che

[tex]$\sum_{n=1}^\infty \left[\sin\frac{n+1}{n+800}\right]^n<\sum_{n=1}^\infty \sin^n 1$[/tex]

e quindi che la serie originale converge.

Applicando invece il criterio della radice (cosa fattibile perché la serie è a termini positivi)

[tex]$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left[\sin\frac{n+1}{n+800}\right]^n}=\lim_{n\to+\infty}\sin\frac{n+1}{n+800}=\sin 1<1$[/tex]

e quindi, come prima, la serie converge.

[Gi81]

Beh, la serie è a termini positivi, e la dimostrazione è praticamente immediata

[Gianni911]

ok ok,bastava fare con la Radice..
grazie mille!!

[ciampax]

"Gianni91":ok ok,bastava fare con la Radice..
grazie mille!!

Ripeto: bisogna però prima dimostrare che sia positiva, cosa che a priori vorrei sapere come potresti affermare, dal momento che il seno di un angolo può assumere anche valori negativi. Senza l'osservazione che ho fatto, non puoi dirlo.

[Gianni911]

"ciampax":[quote="Gianni91"]ok ok,bastava fare con la Radice..
grazie mille!!

Ripeto: bisogna però prima dimostrare che sia positiva, cosa che a priori vorrei sapere come potresti affermare, dal momento che il seno di un angolo può assumere anche valori negativi. Senza l'osservazione che ho fatto, non puoi dirlo.[/quote]
Capito,vedrò di starci attento..

Se non é un problema ,vorrei proporne un'altro..
In questo caso pero credo che sia sempre positiva la serie.
$ sum_(n=0)^(oo) [n^2*2^n+cos(n!)]/3^n $
Ho prima verificato la condizione necessaria
$ lim_(n ->oo ) [n^2*2^n+cos(n!)]/3^n $
a questo proposito ho considerato il coseno limitato e il denominatore in vantaggio rispetto a $ n^2*2^n $
spero sia giusto..
ottengo cosi
$ lim_(n ->oo ) [n^2*2^n+cos(n!)]/3^n = 0 $
Per verificare la serie ho provato con il Criterio del Rapporto
$ lim_(n ->oo ) [[(n+1)^2*2^(n+1)+cos((n+1)!)]/3^(n+1)][3^n/(n^2*2^n+cos(n!)]] $
può andare come soluzione??(sempre se il limite é giusto)..
ciao

[ciampax]

Può andare, ma quanto viene l'ultimo limite?

[Gianni911]

secondo i miei calcoli viene 0 e quindi converge!!

[ciampax]

Veramente quel limite viene $2/3$.

[Gianni911]

"ciampax":Veramente quel limite viene $2/3$.

eh scusami ho dimenticato un 3..

$ lim_(n ->oo ) [[(n+1)^2*2]/[3*n^2] ] $
scomposto
$ lim_(n ->oo ) [[n^2+2n+1]/[3*n^2] ] =2/3$

comunque, rimane convergente...


grazie