Calcolo carattere serie.
Ciao a tutti.si inizia nuovamente a stusiare analisi e inizianoi primi dubbi.Ho la seguente serie numerica:
$\sum_{n=1}^(\infty)(n^2+ln(n))/(n+(-2)^n)$.
Sicuramente non è una serie a termini positivi a causa del denominatore.Allora i mieiu dubbi sono i seguenti:
1)Questa serie converge a $0$ per $n->+\infty$; cioè soddisfa la condizione neccessaria affinchè converga?
2)Il termine al denominatore cioè, cioè $(-2)^n$ cosa mi determina; e che tipo di funzione è; visto che non è un esponenziale reale in quanto la base è negativa?
3)Come posso studiare il carattere di questa serie?
Vi ringrazio fin da subito.
$\sum_{n=1}^(\infty)(n^2+ln(n))/(n+(-2)^n)$.
Sicuramente non è una serie a termini positivi a causa del denominatore.Allora i mieiu dubbi sono i seguenti:
1)Questa serie converge a $0$ per $n->+\infty$; cioè soddisfa la condizione neccessaria affinchè converga?
2)Il termine al denominatore cioè, cioè $(-2)^n$ cosa mi determina; e che tipo di funzione è; visto che non è un esponenziale reale in quanto la base è negativa?
3)Come posso studiare il carattere di questa serie?
Vi ringrazio fin da subito.
Risposte
Io propongo di studiare l'assoluta convergenza.
Se [tex]n[/tex] è pari
[tex]\left|\frac{n^2+\log n}{n+(-2)^n}\right|=\frac{n^2+\log n}{n+2^n}\leq\frac{n^2+\log n}{2^n-n}[/tex]
Se [tex]n[/tex] è dispari
[tex]\left|\frac{n^2+\log n}{n+(-2)^n}\right|=\frac{n^2+\log n}{2^n-n}[/tex]
Per dimostrare l'assoluta convergenza puoi provare che converge la serie [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2+\log n}{2^n-n}[/tex]
Se [tex]n[/tex] è pari
[tex]\left|\frac{n^2+\log n}{n+(-2)^n}\right|=\frac{n^2+\log n}{n+2^n}\leq\frac{n^2+\log n}{2^n-n}[/tex]
Se [tex]n[/tex] è dispari
[tex]\left|\frac{n^2+\log n}{n+(-2)^n}\right|=\frac{n^2+\log n}{2^n-n}[/tex]
Per dimostrare l'assoluta convergenza puoi provare che converge la serie [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2+\log n}{2^n-n}[/tex]
Ma quindi tu mi consiglidi separare i 2 casi $n$ pari ed $n$ dispari.Ma inizialmente non devo verificare la condizione necessaria di convergenza.Ovvero se il termine generale della serie tende a $0$?
Certo, puoi fare preliminarmente questo controllo (e tu l'avevi già fatto). Questo controllo serve a dire se la serie non converge, nel senso che se il termine generale non tende a zero allora sai che la serie non converge.
Avevi provato che il termine generale della serie converge a $0$. Quindi la serie può convergere.
Per provare che converge veramente, puoi seguire il mio suggerimento.
Avevi provato che il termine generale della serie converge a $0$. Quindi la serie può convergere.
Per provare che converge veramente, puoi seguire il mio suggerimento.
Ecco il mio dubbio è proprio questo.Nonj riescoa capire come si fa a dire che iltermine generale tende a $0$.Cioè se al denominatore anziche il $(-2)^n$ avessi avuto il $(2)^n$ allora non avrei avuto nessun dubbio in quanto sopra l'infinito di ordine superiore era $n^2$ e sotto $(n)^2$ e quindi illimite tenderebbe a $0$.Ma sotto però ho un $(-2)^n$ questo continua ancora ad essere un infinito di ordine superiore rispetto a $n^2$?
Sì, il termine generale va a $0$. Puoi provare che il suo valore assoluto va a $0$, distinguendo i due casi $n$ pari ed $n$ dispari, come fatto precedentemente, tenendo conto che $2^n$ e un infinito di ordine superiore rispetto a $n^2$.
"cirasa":
Io propongo di studiare l'assoluta convergenza.
Per dimostrare l'assoluta convergenza puoi provare che converge la serie [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2+\log n}{2^n-n}[/tex]
Io ti consiglio di seguire questo ragionamento... per studiare la convergenza di quella serie puoi usare ora, ad esempio, il criterio della radice.
Ok ora ciprovo ma la cosa che non ho capito è:Come faccio a dimostrare che il termine generale della serire è infinitesimo per $n->+\infty$?
Dalla disuguaglianza scritta da cirasa hai scoperto che:
[tex]\displaystyle{\left|\frac{n^2+log(n)}{n+(-2)^n}\right|}\le \frac{n^2+log(n)}{2^n-n}}\quad \forall n\in \mathbb{N}\setminus\left\{0\right\}[/tex]
A questo punto, dimostra che
[tex]\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+log(n)}{2^n-n}}=0[/tex] ed hai finito (sfrutti il teorema del confronto per le successioni).
[tex]\displaystyle{\left|\frac{n^2+log(n)}{n+(-2)^n}\right|}\le \frac{n^2+log(n)}{2^n-n}}\quad \forall n\in \mathbb{N}\setminus\left\{0\right\}[/tex]
A questo punto, dimostra che
[tex]\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+log(n)}{2^n-n}}=0[/tex] ed hai finito (sfrutti il teorema del confronto per le successioni).
"cirasa":
Io propongo di studiare l'assoluta convergenza.
Se [tex]n[/tex] è pari
[tex]\left|\frac{n^2+\log n}{n+(-2)^n}\right|=\frac{n^2+\log n}{n+2^n}\leq\frac{n^2+\log n}{2^n-n}[/tex]
Se [tex]n[/tex] è dispari
[tex]\left|\frac{n^2+\log n}{n+(-2)^n}\right|=\frac{n^2+\log n}{2^n-n}[/tex]
Per dimostrare l'assoluta convergenza puoi provare che converge la serie [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2+\log n}{2^n-n}[/tex]
Non riesco a capire questo passaggio:
[tex]\left|\frac{n^2+\log n}{n+(-2)^n}\right|=\frac{n^2+\log n}{n+2^n}\leq\frac{n^2+\log n}{2^n-n}[/tex]
potresti spiegarmelo.Non riesco a capire il passaggio con l'uguale.
Considera che $n \in NN^+$ e quindi è sempre $\geq 1$. Ora, se $n = 2k$ è pari, $(-2)^n = (-1)^n2^n = 1\cdot2^n$ = $2^n$.
Quindi, poichè sia numeratore ($n^2 + logn$) sia denominatore ($n +2^n$) sono sempre positivi, il rapporto è sempre positivo e quindi il suo modulo coincide esattamente con lui.
Quindi, poichè sia numeratore ($n^2 + logn$) sia denominatore ($n +2^n$) sono sempre positivi, il rapporto è sempre positivo e quindi il suo modulo coincide esattamente con lui.
Io invece avevo pensato di risolverla nel seguente modo:
$\sum_{n=1}^(\infty) |n^2+ln(n)|/(|n+(-2)^n|)$
A questo punto al numeratore posso togliere il valore assoluto e quindi rimane:
$\sum_{n=1}^(\infty) (n^2+ln(n))/(|n+(-2)^n|)$
Ora per la proprietà del valore assoluto sappiamo che:
$|a+b|<=|a|+|b|$
e quindi faccio la seguente maggiorazione:
$(n^2+ln(n))/(|n+(-2)^n|)<=(n^2+ln(n))/(|n|+|(-2)|^n)$
E quindi posso scrivere il secondo termine come:
$(n^2+ln(n))/(n+(2)^n)$
A questo punto studio il carattere della serie di confronto; con il criterio del rapporto.In questo caso non faccio distinzione tra n pari ed n dispari; secondo voi va bene?
$\sum_{n=1}^(\infty) |n^2+ln(n)|/(|n+(-2)^n|)$
A questo punto al numeratore posso togliere il valore assoluto e quindi rimane:
$\sum_{n=1}^(\infty) (n^2+ln(n))/(|n+(-2)^n|)$
Ora per la proprietà del valore assoluto sappiamo che:
$|a+b|<=|a|+|b|$
e quindi faccio la seguente maggiorazione:
$(n^2+ln(n))/(|n+(-2)^n|)<=(n^2+ln(n))/(|n|+|(-2)|^n)$
E quindi posso scrivere il secondo termine come:
$(n^2+ln(n))/(n+(2)^n)$
A questo punto studio il carattere della serie di confronto; con il criterio del rapporto.In questo caso non faccio distinzione tra n pari ed n dispari; secondo voi va bene?
"identikit_man":
[...]
Ora per la proprietà del valore assoluto sappiamo che:
$|a+b|<=|a|+|b|$
e quindi faccio la seguente maggiorazione:
$(n^2+ln(n))/(|n+(-2)^n|)<=(n^2+ln(n))/(|n|+|(-2)|^n)$
La maggiorazione che hai fatto è illecita. $|a+b|<= |a|+|b|=>1/(|a+b|)>= 1/(|a|+|b|)$ quindi $(n^2+ln(n))/(|n|+|(-2)|^n)<=(n^2+ln(n))/(|n+(-2)^n|)$
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