Calcolo baricentro omogeneo

[Duj91]

Sia $T={(x,y,z):x^2+y^2+z^2>=1, |x|+|y|+z<=4, z>=0}$
Calcolare il baricentro supponendolo omogene.
Per il calcolo del volume, essendo $T$ lo spazio compreso tra le superfici ${x^2+y^2+z^2=1, z>=0}$ e ${|x|+|y|+z=4, z>=0}$ e viste le simmetrie considero
$A={(x,y,z): x+y+z<=4, z>=0, x>0, y>0}$

$ V(A)=int_(0)^(4) dx int_(0)^(4-x)dy int_(0)^(4-x-y) dz =32/3 $

$B={(x,y,z): x^2+y^2+z^2<=1, z>=0}$

E rappresentando una semisfera di raggio $1$
$V(B)=2/3pi$
Quindi $V(T)=4V(A)-V(B)=(128-2pi)/3$

Viste le simmetrie di $T$ le coordinate $x$ e $y$ del baricentro valgono $0$
Devo quindi calcolare
$ int int int_(T)z dx dy dz $
E qui iniziano i dolori, qualcuno sa come potrei impostare l'integrale?

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Non ne vengo a capo

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Io ho provato a risolverlo così. Spero vivamente che qualcuno mi dica se è corretto o meno e se c'è qualche modo più veloce con il quale risolvere l'esercizio.

$ int int int_(T)z dx dy dz =int int_(D) dx dy int_(sqrt(1-x^2-y^2))^(4-|x|-|y|) zdz=1/2int int_(D)2x^2+2y^2-8|x|-8|y|+2|x||y|+15 dx dy $

Con $D={(x,y):x^2+y^2>=1,|x|+|y|<=4}$

Essendo $D$ simmetrico sia ad $x$ che ad $y$ e l'integranda somma algebrica di funzioni pari possiamo riscrivere l'integrale e il dominio nel seguente modo

$2int int_(D_+)2x^2+2y^2-8x-8y+2xy+15 dx dy $

Con $D_+={(x,y):x^2+y^2>=1,x+y<=4, x>0, y>0}$

Quindi


$2int int_(D_+)2x^2+2y^2-8x-8y+2xy+15 dx dy =2int_(0)^(1) dx int_(sqrt(1-x^2) )^(4-x) 2x^2+2y^2-8x-8y+2xy+15 dy=2int_(0)^(1) -5/3x^3+12x^2-29/3x+128/3-2x^2sqrt(1-x^2)+7xsqrt(1-x^2)-15sqrt(1-x^2)-2/3(1-x^2)^(3/2) dx=(525-48pi)/6$

Visti i calcoli scritti nel primo post risulta

$z_G=(525-48pi)/(2(128-2pi))$

Quindi le coordinate di $G$ risultano

$G(0;0;(525-48pi)/(256-4pi))$

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Ė giusto??

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