Calcolo Area(A) ; Integrale Doppio

[***1117]

Salve ragazzi , ho trovato di difficile risoluzione questo integrale doppio :

$\int \int_A dxdx$ con $A=\{(x;y)\in R^2 : \frac{x^2}{4}+y^2>=1 ; \frac{x^2}{4}+(y-1)^2<=1 ; (4-\sqrt(3))x+2y>=4\}$

Ho ritenuto opportuno il cambio di variabili : $x=2\rho\cos\phi$ e $y=\rho\sin\phi$ da cui $J(\rho,\phi)=2\rho$

L'insieme $A$ diventa $D=\{\rho^2>=1 ; \rho^2 + (\rho\sin\phi -1)^2 <=1 ; (4-\sqrt(3))2\rho\cos\phi>=4\}$

da cui $D=\{ \rho>=1 ; \rho <=\frac{2\sin\phi}{1+\sen^2\phi} ; \rho>=\frac{2}{\sin\phi+(4-sqrt(3))\cos\phi}\}$

Siano (1)=$\rho <=\frac{2\sin\phi}{1+\sen^2\phi}$ e (2)=$ \rho>=\frac{2}{\sin\phi+(4-sqrt(3))\cos\phi}$

ricavo l'intervallo di $\phi$ dalle precedenti relazioni (1) e (2) : $(2)<(1)$ avrò $\phi<=\frac{\arcsin(\frac{2}{4-\sqrt(3)})}{2}$

per cui $D=\{\frac{2}{\sin\phi+(4-sqrt(3))\cos\phi} <= \rho <= \rho <=\frac{2\sin\phi}{1+\sen^2\phi} ; \frac{\pi}{2}<=\phi<=\frac{\arcsin(\frac{2}{4-\sqrt(3)})}{2} \} $

Dovrò calcolare l'integrale :

$\int_{\frac{\arcsin(\frac{2}{4-\sqrt(3)})}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\phi \int_{\frac{2}{\sin\phi+(4-sqrt(3))\cos\phi}}^{ \frac{2\sin\phi}{1+\sen^2\phi} } 2\rho d\rho=$

$=\int_{\frac{\arcsin(\frac{2}{4-\sqrt(3)})}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ( \frac{\rho^2}{4} ) _{\frac{2}{\sin\phi+(4-sqrt(3))\cos\phi}}^{\frac{2\sin\phi}{1+\sen^2\phi}} d\phi=$

$\int_{\frac{\arcsin(\frac{2}{4-\sqrt(3)})}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ( \frac{4}{1+\sin^4\phi +2\sin^2\phi} -\frac{4}{\sin^2\phi +(4-\sqrt(3))^2 \cos^2\phi +2\sin\phi (4-\sqrt(3))\cos\phi} )d\phi $

Ora come procedo?

Grazie in anticipo!

[quantunquemente]

ma,i primi 2 vincoli sono soddisfatti solo dai punti $A(2,1)$ e $B(-2,1)$

errore di battitura ?

[***1117]

Avevo dimenticato un $y^2$ ,ho corretto il tutto:)

[Emar1]

Secondo me il cambio di variabili complica solo le cose...