Calcolo area regione di piano

[rocco951]

Buongiorno a tutti… avrei il seguente quesito da proporvi: calcolare l'area della regione di piano delimitata dalla parabola di equazione $y_1$=x^2 e la retta di equazione $y_2$=4...per risolvere questo tipo di esercizio bisogna ricorrere all'integrazione? Se si, come si procede? Grazie anticipatamente.

[anto_zoolander]

Si può essere ragionevole utilizzare gli integrali.
Fai un disegno, come la trovi l’area in mezzo alle due figure?

[rocco951]

Innanzitutto grazie per la risposta...credo che per calcolare l'area tra le due figure bisogna ricorrere all'integrale definito ...inoltre,se non erro,l'area si calcola tramite differenza fra la parabola e la retta,giusto? Però non capisco quale estremi di integrazione bisogna usare...

[pilloeffe]

Ciao rocco95,

"rocco95":...per risolvere questo tipo di esercizio bisogna ricorrere all'integrazione?

Non necessariamente: già Archimede di Siracusa aveva scoperto che l'area del segmento parabolico retto è pari ai $2/3 $ dell'area del rettangolo circoscritto...

"rocco95":Però non capisco quale estremi di integrazione bisogna usare...

Beh, guarda in quali punti la parabola $y = x^2 $ interseca la retta orizzontale di equazione $y = 4 $: troverai i due valori di $x $ che ti occorrono per l'integrale definito.

[rocco951]

Ciao pilloeffe, innanzitutto grazie per la risposta... comunque per trovare gli estremi di integrazione ho proceduto ponendo $x^2=4$ la cui soluzione è $x=+2,-2$ quindi $+2,-2$ saranno gli estremi di integrazione...ho così impostato l'integrale definito : $\int_(-2)^2(4-x^2)dx$ la cui soluzione,calcolando prima l'integrale indefinito e poi applicando gli estremi si integrazione, è $32/3$...è corretto il mio ragionamento o sto sbagliando qualcosa? Grazie mille in anticipo.

[pilloeffe]

"rocco95":innanzitutto grazie per la risposta...

Prego!

"rocco95": ...è corretto il mio ragionamento o sto sbagliando qualcosa?

Sì, è corretto. D'altronde l'area del rettangolo (che poi nel caso in esame è un quadrato) è $4 \times 4 = 16 $, quindi l'area è $2/3 \cdot 16 = 32/3 $
Con l'integrale, approfittando del fatto cha si ha a che fare con funzioni pari, si ha:

$\int_{-2}^2 (4 - x^2)\text{d}x = 2\int_0^2 (4 - x^2) \text{d}x = 2 \cdot [4x - x^3/3]_0^2 = 2 \cdot [8 - 8/3] = 2 \cdot 16/3 = 32/3 $

Ciò conferma il risultato già ottenuto precedentemente.

[rocco951]

Perfetto grazie mille pilloeffe per la risposta...Tra 20 giorni ho l'esame di analisi 1...se lo supero è in parte merito tuo visto i consigli che mi stai fornendo nei vari quesiti da me proposti.. grazie ancora...