Calcolo area regione delimitata da una retta e una cuva

[sangi89]

Ciao a tutti.
mi viene chiesto di calcolare l'area della regione limitata dalla retta $y=x$ e dalla curva di equazioni parametriche
$x=t^3+lnt$, $y=t^3+ln^3t$ con $t in [1,e]$

è corretto considerare l'area come $1/2 \int_{ }^{ } x dy - y dx$ e quindi:

$1/2 \int_{ 1}^{e } t-t dt$ per quanto riguarda la retta, e
$1/2 \int_{ 1}^{e } (t^3+lnt)(3t^2+3/t)-(t^3+lnt^3)(3/t+1/t)dt$ per quanto riguarda la curba?

??

[sangi89]

Ciao ti ringrazio mille per tutto, si avevo visto che l'integrale si annullava a priori, ma ho difficoltà nel determinare l'intervallo di integrazione, potresti gentilmente spiegarmi con sei arrivato alla concluzione $α=1, β=e3+1$ ?
grazie anticipatamente

[sangi89]

perfettissimo Grazie mille

[marthy_92]

Scusate, mi sono ritrovata a svolgere lo stesso esercizio.. Volevo chiedervi

Per determinare ove far variare il parametro $t$ per la retta e quindi ove si incontrano le due curve,
dato che stiamo cercando i punti comuni (e quindi quelli per cui $ y = x$ ) non si poteva porre
per quanto riguarda la prima curva

$ t^3+lnt=t^3+ln^3t $

e quindi poi risolvere l'equazione?

[marthy_92]

grazie Tem . come parametrizzazione della retta ovviamente considero

$ { ( x(t)=t ),( y(t)=t ):} $

Però sinceramente nel risolvere l'equazione $ t^3+logt=t^3+log^3t $

non riesco ada ottenere il valore $ e^3+1 $ che invece tu sopra hai ottenuto in modo molto più semplice.

[marthy_92]

all'inizio mi era sembrato l'unico modo di procedere ma in effetti come hai detto tu , il tuo ragionamento
è molto più semplice e immediato da applicare. grazie