Calcolo area racchiusa da una curva

[mauri54]

Ciao a tutti,
in una prova di Analisi II ho trovato questo esercizio.

Sia A la regione racchiusa dalla curva \( \gamma(t)=(\sin{(3t)\sin{(t)}},\sin{(3t)\cos{(t)}}) \) con \( t\in[0,2\pi] \).
Calcolare l'area racchiusa dalla curva.

Osservo inizialmente che la curva è chiusa ma "doppia". Basterebbe considerarla solo in $[0,\pi]$.
Io ho usato la formula di Gauss-Green
\( Area(A)=|\displaystyle\int_\gamma xdy|=|\int_{0}^{\pi} x(t)y'(t)dt|=|\int_{0}^{\pi}[\sin(3t)\sin(t)(3\cos(3t)\cos(t)-\sin(3t)\sin(t))]dt| \)
Ho provato a fare un po' di conti ma mi sembra parecchio difficoltoso. Vi sembra giusta l'impostazione? Ho messo il modulo perché non ho voglia di capire l'orientamento della curva anche se mi pare che orienti negativamente. A qualcuno viene in mente qualcosa di più semplice? O dovrei perseverare nel conto?

[mauri54]

"TeM":Dunque, data una curva piana \(\mathbf{r} : [\theta_1,\,\theta_2] \to \mathbb{R}^2\) di legge: \[ (x,\,y) := \mathbf{r}(\theta) = \left(f(\theta)\,\cos\theta, \; f(\theta)\,\sin\theta\right), \] qualora sia chiusa, ossia: \[ \mathbf{r}(\theta_1) = \mathbf{r}(\theta_2), \] il proprio sostegno \(\partial D\) è il bordo di un dominio piano \(D\) e per il teorema di Gauss-Green, si ha: \[ ||D|| = \frac{1}{2} \int\limits_{\partial^+ D} \left(x(\theta)\,y'(\theta) - x'(\theta)\,y(\theta)\right)\text{d}\theta = \frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \left(f(\theta)\right)^2\,\text{d}\theta\,. \] Dato che la curva in esame, che è una funzione, ha dominio \([0,\,\pi]\) e che \(f(\theta) = \sin(3\,\theta)\) ... cosa risulterà?

Ahh grande! Non c'avevo pensato!
Viene $\pi/4$
Grazie mille!