Calcolo area e baricentro
Calcolare l'area ed il baricentro della regione racchiusa dalla parabola di equazione $y=12x-2x^2$ e dalla retta di equazione $y=2x$
Mi pare di ricordare che bisogna calcolare un integrale per risolvere no?? ma come si prcede esattamente?? grazie..
Mi pare di ricordare che bisogna calcolare un integrale per risolvere no?? ma come si prcede esattamente?? grazie..
Risposte
ho risolto il problema relativo all'area, ma non mi ricordo proprio come si calcola il baricentro..
devi usare i momenti statici del primo ordine...e l'area.
Siano $A$ l'area del dominio in oggetto, $S_x$ e $S_y$ i momenti statici del primo ordine rispetto all'asse x ed y, calcolati nel medesimo dominio, allora le copordinate del baricentro sono $ (X,Y)=(S_x/A, S_y/A)$
Siano $A$ l'area del dominio in oggetto, $S_x$ e $S_y$ i momenti statici del primo ordine rispetto all'asse x ed y, calcolati nel medesimo dominio, allora le copordinate del baricentro sono $ (X,Y)=(S_x/A, S_y/A)$
Io mi ricordo che in caso bidimensionale, il baricentro si calcola:
$(x,y)=({\int_SxdS}/{\int_SdS},{\int_SydS}/{\int_SdS})$
$(x,y)=({\int_SxdS}/{\int_SdS},{\int_SydS}/{\int_SdS})$
Esatto, Cavalli.
Io non avevo esplicitato la definizione di momento statico del primo ordine e di area perchè penso che sia nota.
Io non avevo esplicitato la definizione di momento statico del primo ordine e di area perchè penso che sia nota.
Ora che ci guardo meglio nella formula da te proposta gli integrali sono stati semplificati ( per la componente x integri solo in x, per la componente y integri solo in y), ma credo che ciò sia possibile usando il Teo di Fubini Tonelli, con l'ipotesi che il dominio sia x- semplice e allo stesso tempo anche y-semplice, non è il caso più generale che ci sia....almeno penso.
Forse così dovrebbe andare. Nella fretta avevo sbagliato a scrivere.
Ok, ora mi suonano decisamente più generali...
grazie mille ragazzi..
ciao, grazie ancora per avermi rinfrescato le formule del baricentro, stamattina però quando ho provato a farlo avevo grosse crisi nel formulare i 2 integrali a numeratore.. sapreste indicarmeli??
l'area sottesa misura $125/3$ e il dominio è $x=0..5$
l'area sottesa misura $125/3$ e il dominio è $x=0..5$
Ok, quindi basta calcolare i due integrali ai rispettivi denominatori, quindi chiamando $A$ l'area descritta da tale configurazione, si ha:
$(x,y)=(x_b\cdotA,y_b\cdotA)=(\int_SxdS,\int_SydS)$. Calcoliamo adesso il valore ti tali integrali, osservando che il dominio è normale all'asse x:
$x=\int_SxdS=\int_0^5(\int_{2x}^{12x-2x^2}dy)xdx=\int_0^5[y]_{2x}^{12x-2x^2}xdx=\int_0^5(10x-2x^2)xdx=\int_0^5 10x^2-2x^3=[10/3x^3-x^4/2]_0^5=625/6$
$y=\int_SydS=\int_0^5(\int_{2x}^{12x-2x^2}ydy)dx=\int_0^5[y^2/2]_{2x}^{12x-2x^2}dx=\int_0^5(12x-2x^2)^2/2-2x^2dx=\int_0^5 70x^2-24x^3+2x^4dx=[70/3x^3-6x^4+2/5x^5]_0^5=1250/3$
Poi fai le divisioni e trovi: $(x_b,y_b)$
$(x,y)=(x_b\cdotA,y_b\cdotA)=(\int_SxdS,\int_SydS)$. Calcoliamo adesso il valore ti tali integrali, osservando che il dominio è normale all'asse x:
$x=\int_SxdS=\int_0^5(\int_{2x}^{12x-2x^2}dy)xdx=\int_0^5[y]_{2x}^{12x-2x^2}xdx=\int_0^5(10x-2x^2)xdx=\int_0^5 10x^2-2x^3=[10/3x^3-x^4/2]_0^5=625/6$
$y=\int_SydS=\int_0^5(\int_{2x}^{12x-2x^2}ydy)dx=\int_0^5[y^2/2]_{2x}^{12x-2x^2}dx=\int_0^5(12x-2x^2)^2/2-2x^2dx=\int_0^5 70x^2-24x^3+2x^4dx=[70/3x^3-6x^4+2/5x^5]_0^5=1250/3$
Poi fai le divisioni e trovi: $(x_b,y_b)$
grazie grazie 
Di nulla!
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