Calcolo area di una superficie parametrica
Ho dei problemi con questo esercizio:
Trovare l'area della superficie: S: $ {(x,y,z) in RR^3 : 0leq z leq sqrt(x^2+y^2) , x^2+y^2=2y } $
Suggerimento:
(usare coordinate cilindriche x= ρ(t)cos(t) , y=ρ(t)sin(t) , z=z con ρ funzione di t ).
Intanto non riesco a capire come lavorare con quel ρ(t), dato che appunto varia rispetto a t quindi non saprei come metterlo dentro l'integrale che utilizzerei per calcolare l'area della superficie parametrica. Poi non capisco, dovrebbe venire un risultato numerico oppure qualcosa in funzione di t? Il prof non ha dato la soluzione quindi non lo so..
Comunque intanto credo che la superficie sia delineata dall'intersezione di un cilindro con un cono con vertice nell'origine.. Però non so appunto come impostare la risoluzione, dato che non so in che intervalli lavorare ne come comportarmi con quel ρ(t)...
Qualcuno può darmi qualche dritta?
Trovare l'area della superficie: S: $ {(x,y,z) in RR^3 : 0leq z leq sqrt(x^2+y^2) , x^2+y^2=2y } $
Suggerimento:
(usare coordinate cilindriche x= ρ(t)cos(t) , y=ρ(t)sin(t) , z=z con ρ funzione di t ).
Intanto non riesco a capire come lavorare con quel ρ(t), dato che appunto varia rispetto a t quindi non saprei come metterlo dentro l'integrale che utilizzerei per calcolare l'area della superficie parametrica. Poi non capisco, dovrebbe venire un risultato numerico oppure qualcosa in funzione di t? Il prof non ha dato la soluzione quindi non lo so..
Comunque intanto credo che la superficie sia delineata dall'intersezione di un cilindro con un cono con vertice nell'origine.. Però non so appunto come impostare la risoluzione, dato che non so in che intervalli lavorare ne come comportarmi con quel ρ(t)...
Qualcuno può darmi qualche dritta?
Risposte
Hai provato a riscrivere le condizioni? Osserva che si riducono a [tex]$0\le z\le\rho,\ \rho^2=2\rho\sin t$[/tex]. Così dovresti vedere dove sta la dipendenza di $\rho$ da $t$.
si ho provato, ma non mi dice niente la cosa.. Dici di esplicitare tutto in funzione di t? Boh, non capisco cosa ci guadagno..
Non in funzione di $t$. Quello che ti serve è determinare gli estremi di integrazione, giusto? Allora, per prima cosa avrai che $o\le z\le \rho$. E uno è andato. Adesso l'altra condizione ti permette di dire che $\rho(\rho-2\sin t)=0$, per cui la superficie è definita quando $\rho=2\sin t$. Ora dovrebbe essere chiaro come procedere, se consideri quanto vale $\rho$ e che deve essere $0\le t\le 2\pi$.
ok, su questo ci lavorerò, grazie mille. Ma il ρ(t) come si comporta dentro l'integrale? Lo scrivo semplicemente come " ρ " , senza il " (t) " ?
A dire l verità, calcolando l'integrale, ad un certo punto potresti sostituire, no? Tu con quale integrale vuoi calcolare la superficie data?
Eh, bella domanda. La mia idea è di usare questa formula:
$ int_(D)^() sqrt(1+ || nablaf(x,y) ||^2) dx dxy $
Però appunto f(x,y) sarebbe z , ma comunque non so come procedere.
$ int_(D)^() sqrt(1+ || nablaf(x,y) ||^2) dx dxy $
Però appunto f(x,y) sarebbe z , ma comunque non so come procedere.
E mi sa che così non ne esci viva, dal momento che dovresti trovare prima di tutto la funzione $f(x,y)$ che non mi pare così semplice. Provare con un integrale di superficie?
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