Calcolo area di una regione di piano

[melli13]

Calcolare l'area della regione D compresa tra i grafici delle funzioni $f(x)=x$ e $g(x)=x^(a)$, con $x>0$ e $a in RR$

Io ho notato che se:
-$a=1$ allora $D=0$
-$a>1$ allora $D=1/2-1/(a+1)$
-$0 E' giusto fin qui? Ma se $a=0$ D non è illimitato? e quando $a<0$ quale parte di piano devo prendere in considerazione? Grazie per l'aiuto.....!!!!

[walter891]

secondo me se $a=0$ allora $D=1/2$ perchè è la parte di piano tra la bisettrice e la retta orizzontale

[Demostene92]

Fai attenzione.
Se $a=0$ l'area non è illimitata. Si riduce ad un banale triangolo: guarda bene!

Come hai giustamente detto te, se $a=1$ ovviamente l'area frapposta tra le due funzioni è nulla.

Se $a>1$ avrai $x$ elevato, in modo alternante, ad un numero pari e dispari.
In ogni caso, considerando che la tua ipotesi è $x>0$, dovrai considerare sempre il primo quadrante.

Se $a>1$ il tuo risultato è corretto.
Se $0
Se $a<1$ devi comunque considerare sempre il primo quadrante: la tua ipotesi è che $x>0$ e se $a<1$ hai comunque una funzione che giace nel primo e secondo quadrante o nel primo e nel terzo quadrante a seconda che l'esponente sia rispettivamente positivo o negativo.

[melli13]

Avete ragione...nel caso $a=0$ ottengo un triangolino di area $1/2$...mi era sfuggito...
Nel caso $a<0$ il discorso mi sembra un po' complicato....prendiamo per esempio $a=-1/2$...la regione di piano dovrebbe essere $3/2$...ma se prendo $a=-10$ la regione di piano non è illimitata? Forse qui devo usare il concetto di integrali convergenti (o qualcosa del genre) che non ancora studio? Grazie mille cmq....!!!