Calcolo area di un insieme in R^2
Salve a tutti, in questo periodo sto preparando una parte del programma di analisi 2 (nel mio corso viene chiamata MATE III, di 2,5 crediti). Le prove sono composti da 2 esercizi, nel primo non trovo difficoltà, si tratta di una funzione di 2 variabili e mi risulta facile trovare dominio (che deve essere rappresentato), punti critici indicandone la natura e gli eventuali maz e min assoluti.
Dove trovo un pò di difficoltà è il secondo esercizio:
Viene dato un insieme del tipo: $D = {(x,y)$ $in$ $RR$*$RR$ $:$ $x^2+y^2 <= 4, y>=2-2x, y>=0}$
Tranquillamente rappresento l'insieme nel piano cartesiano essendo formato da un cerchio con raggio 2 con centro in O, la retta che interseca l'asse x nel punto 1 e l'asse y nel punto 2.
Calcolare l'area di questo insieme che devo considerare è facile ad un quarto del cerchio ($\pi$) tolgo il triangolo che si è formato (facilmente calcolabile essendo un triangolo rettangolo ).
$area(D) = \pi -1$
Non sempre hai la fortuna di capitare figure così semplici senza l'utilizzo di integrali, e de qui che mi vien difficile.
Come arrivo allo stesso risultato passando per integrali?
In generale vorrei capire come impostare il calcolo con qualsiasi tipo di insieme che mi forniscono.
Essendo la mia una laurea a distanza non ho la possibilità di confrontarmi con il prof. per questo chiedo a voi. Grazie in anticipo...
Dove trovo un pò di difficoltà è il secondo esercizio:
Viene dato un insieme del tipo: $D = {(x,y)$ $in$ $RR$*$RR$ $:$ $x^2+y^2 <= 4, y>=2-2x, y>=0}$
Tranquillamente rappresento l'insieme nel piano cartesiano essendo formato da un cerchio con raggio 2 con centro in O, la retta che interseca l'asse x nel punto 1 e l'asse y nel punto 2.
Calcolare l'area di questo insieme che devo considerare è facile ad un quarto del cerchio ($\pi$) tolgo il triangolo che si è formato (facilmente calcolabile essendo un triangolo rettangolo ).
$area(D) = \pi -1$
Non sempre hai la fortuna di capitare figure così semplici senza l'utilizzo di integrali, e de qui che mi vien difficile.
Come arrivo allo stesso risultato passando per integrali?
In generale vorrei capire come impostare il calcolo con qualsiasi tipo di insieme che mi forniscono.
Essendo la mia una laurea a distanza non ho la possibilità di confrontarmi con il prof. per questo chiedo a voi. Grazie in anticipo...
Risposte
Ciao. Beh, suppongo che gli integrali li devi usare per forza! Non credo che accetterebbero un ragionamento come quello che hai fatto, perchè il tutto si ridurrebbe a un esercizio di Geometria, a livello di scuola media.
Di certo saprai cosa rappresenta l'integrale doppio esteso a un domino $D\subset RR^2$ di una funzione $f(x,y)$ sempre positiva: il volume tra $D$ (che sta nel piano $xy$) e la superficie definita da $f$.
Ci viene chiesto di determinare la misura di $D$ (o l'area, come preferisci). Intuitivamente, se $f=h\geq 0$ è una funzione costante, il volume $V$ di cui parlavamo è equivalente a "superficie ($A$) per altezza ($h$)", scriviamo
\[V=A(D)\cdot h\]
Se prendiamo $f=h=1$, otteniamo
\[V=A(D)\]
Ricordiamo che
\[\iint_D f(x,y)=V\]
ma avendo preso $f=1$, abbiamo
\[\iint_D 1=V=A(D)\qquad (1)\]
Riassumendo, l'area di un sottoinsieme limitato di $RR^2$ (quindi di una figura piana) è dato dall'integrale doppio esteso a $D$ della funzione costante $1$.
Aldilà del mio ragionamento un po' urang-utang (rubo il termine, che mi pare abbastanza appropriato, al Prof. Patrone), il cui unico scopo era di farti ragionare un po' su quello che stai facendo, sappi che la $(1)$ è proprio la definizione di misura (area) di una figura piana $D$, e ci dovrebbe essere su qualsiasi testo d'Analisi: dacci un'occhiata.
Ciao
Giuseppe
Di certo saprai cosa rappresenta l'integrale doppio esteso a un domino $D\subset RR^2$ di una funzione $f(x,y)$ sempre positiva: il volume tra $D$ (che sta nel piano $xy$) e la superficie definita da $f$.
Ci viene chiesto di determinare la misura di $D$ (o l'area, come preferisci). Intuitivamente, se $f=h\geq 0$ è una funzione costante, il volume $V$ di cui parlavamo è equivalente a "superficie ($A$) per altezza ($h$)", scriviamo
\[V=A(D)\cdot h\]
Se prendiamo $f=h=1$, otteniamo
\[V=A(D)\]
Ricordiamo che
\[\iint_D f(x,y)=V\]
ma avendo preso $f=1$, abbiamo
\[\iint_D 1=V=A(D)\qquad (1)\]
Riassumendo, l'area di un sottoinsieme limitato di $RR^2$ (quindi di una figura piana) è dato dall'integrale doppio esteso a $D$ della funzione costante $1$.
Aldilà del mio ragionamento un po' urang-utang (rubo il termine, che mi pare abbastanza appropriato, al Prof. Patrone), il cui unico scopo era di farti ragionare un po' su quello che stai facendo, sappi che la $(1)$ è proprio la definizione di misura (area) di una figura piana $D$, e ci dovrebbe essere su qualsiasi testo d'Analisi: dacci un'occhiata.
Ciao
Giuseppe
Salve scusami se rispondo ora e grazie per la tua risposta
Comunque essendoci una circonferenza e una figura elementare, ho pensato di dividere il dominio in 2 parti, uno relativo al quarto di circonferenza e l'altro relativo al triangolo. Così calcolo gli integrali separatamente e poi a quello della circonferenza sottraggo quella del triangolo.
Quindi il dominio della circonferenza trasformato in coordinate polari mi diventa:
$D' = {0<=\rho<=2; 0<=\vartheta<=\pi/2 }$
Quindi calcolo l'integrale doppio:
$\int_{0}^{\pi/2} (int_{0}^{2} \rho d\rho d\vartheta)$
e svolgendo i calcoli arrivo ad :
$area(D') = \pi$
Ora al risultato trovato voglio togliere l'area del triangolo di vertici $(0,0);(1,0);(0,2)$ il cui dominio dovrebbe essere( se non sbaglio):
$D'' = { 0<=x<=1; 0<=y<=2; y<=2-2x}$
L'integrale $\int int dxdy$ come deve essere impostato rispetto al dominio $D''$?
Comunque essendoci una circonferenza e una figura elementare, ho pensato di dividere il dominio in 2 parti, uno relativo al quarto di circonferenza e l'altro relativo al triangolo. Così calcolo gli integrali separatamente e poi a quello della circonferenza sottraggo quella del triangolo.
Quindi il dominio della circonferenza trasformato in coordinate polari mi diventa:
$D' = {0<=\rho<=2; 0<=\vartheta<=\pi/2 }$
Quindi calcolo l'integrale doppio:
$\int_{0}^{\pi/2} (int_{0}^{2} \rho d\rho d\vartheta)$
e svolgendo i calcoli arrivo ad :
$area(D') = \pi$
Ora al risultato trovato voglio togliere l'area del triangolo di vertici $(0,0);(1,0);(0,2)$ il cui dominio dovrebbe essere( se non sbaglio):
$D'' = { 0<=x<=1; 0<=y<=2; y<=2-2x}$
L'integrale $\int int dxdy$ come deve essere impostato rispetto al dominio $D''$?
In questo situazione potresti, per semplicità, calcolare l'area del rettangolo $R=[0,1]\times [0,2]$ (sempre con gli integrali, per buttare un po' di fumo negli occhi a chi legge 
) e dividere per $2$.
Altrimenti, la solita formula di riduzione:
\[\iint_{D''} dx\, dy=\int^1_0 \left(\int^{2-2x}_0 dy \right)\, dx\]
Ciao
) e dividere per $2$.Altrimenti, la solita formula di riduzione:
\[\iint_{D''} dx\, dy=\int^1_0 \left(\int^{2-2x}_0 dy \right)\, dx\]
Ciao
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