Calcolo area con integrale (funz. 2 variabili)
Salve,
l'esercizio è il seguente:
Calcolare l'area dell'insieme
$ T= {(x,y)in R^2 : x^2 + y^2 <=1 ; y <= sqrt(2)x^2 $
Ho disegnato l'insieme e ho trovato che si tratta di una circonferenza di raggio 1 "privata" di una parabola con concavità verso l'alto con vertice in (0,0).
La metà circonferenza (sotto la retta y=0) la posso calcolare agevolmente in $ pi/2 $ ,
resterebbero da calcolare i 2 spicchi di pari valore (simmetrici rispetto all'asse delle y), quindi ne calcolerei 1 e poi ne raddoppierei il valore.
Per risolverla avrei pensato di usare questa formula:
$ int_(0)^(1/(sqrt(2))) int_(y/(sqrt(2)))^(sqrt(1-y^2))x dx $
Può essere calcolata in questo modo?
Grazie a chi vorrà aiutarmi
l'esercizio è il seguente:
Calcolare l'area dell'insieme
$ T= {(x,y)in R^2 : x^2 + y^2 <=1 ; y <= sqrt(2)x^2 $
Ho disegnato l'insieme e ho trovato che si tratta di una circonferenza di raggio 1 "privata" di una parabola con concavità verso l'alto con vertice in (0,0).
La metà circonferenza (sotto la retta y=0) la posso calcolare agevolmente in $ pi/2 $ ,
resterebbero da calcolare i 2 spicchi di pari valore (simmetrici rispetto all'asse delle y), quindi ne calcolerei 1 e poi ne raddoppierei il valore.
Per risolverla avrei pensato di usare questa formula:
$ int_(0)^(1/(sqrt(2))) int_(y/(sqrt(2)))^(sqrt(1-y^2))x dx $
Può essere calcolata in questo modo?
Grazie a chi vorrà aiutarmi
Risposte
...oppure, molto più semplicemente, posso usare questo teorema:
"L’area racchiusa da una parabola e da una retta ad essa secante parallela all’asse x è uguale
a 4/3 l’area del triangolo ABC (dove A e B i punti di intersezione e C il vertice)"
e in questo modo troverei un'area "equivalente" di $ 1/2 $ e quindi un'area della parabola di $ 1/3 $
Portando il risultato finale a $ 1/3 + 1/3 + pi/2 = 2/3+ pi/2 $
Giusto così?
Il procedimento che stavo usando è quello che serve per calcolare il baricentro di un insieme, è corretto dire che "non è da applicare" per il calcolo dell'area, giusto?
Attendo vostre conferme
.Grazie.
Non ho controllato il secondo metodo, ma il metodo con gli integrali mi sembra inutilmente complicato.
Io procederei così:
1) La tua osservazione sul semicerchio inferiore è corretta, questo ha area $\frac{\pi}{2}$ e ce lo togliamo subito dalle scatole, concentrandoci solo sul calcolo dell'area di:
2) Poi possiamo osservare che l'insieme $T_{y^+}$ è simmetrico rispetto all'asse $y$, quindi la sua area sarà il doppio dell'area dell'insieme:
3) Facendo due rapidi calcoli trovi che le due curve, nell'insieme $T_{y^+,x^+}$ si intersecano in $A(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, e la frontiera dell'insieme rappresenta effettivamente una funzione, quindi:
cioè ci siamo ricondotti ad un integrale singolo di una funzione in una variabile.
4) L'area totale risulta quindi:
Errori di calcolo a parte, spero di non averne fatti
Io procederei così:
1) La tua osservazione sul semicerchio inferiore è corretta, questo ha area $\frac{\pi}{2}$ e ce lo togliamo subito dalle scatole, concentrandoci solo sul calcolo dell'area di:
\(\displaystyle
T_{y^+} = \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1 \ \wedge \ y \leq \sqrt{2}x^2 \ \wedge \ y \geq 0 \right\}
\)
T_{y^+} = \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1 \ \wedge \ y \leq \sqrt{2}x^2 \ \wedge \ y \geq 0 \right\}
\)
2) Poi possiamo osservare che l'insieme $T_{y^+}$ è simmetrico rispetto all'asse $y$, quindi la sua area sarà il doppio dell'area dell'insieme:
\(\displaystyle
T_{y^+,x^+} = \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1 \ \wedge \ y \leq \sqrt{2}x^2 \ \wedge \ y \geq 0 \ \wedge \ x \geq 0 \right\}
\)
T_{y^+,x^+} = \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1 \ \wedge \ y \leq \sqrt{2}x^2 \ \wedge \ y \geq 0 \ \wedge \ x \geq 0 \right\}
\)
3) Facendo due rapidi calcoli trovi che le due curve, nell'insieme $T_{y^+,x^+}$ si intersecano in $A(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, e la frontiera dell'insieme rappresenta effettivamente una funzione, quindi:
\(\displaystyle
\operatorname{Area}\left(T_{y^+,x^+}\right) = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x + \sqrt{2}\int_\frac{\sqrt{2}}{2}^1 x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{\pi +2}{8} + \sqrt{2}\frac{4-\sqrt{2}}{12} = \frac{2+8\sqrt{2}+3\pi}{24}
\)
\operatorname{Area}\left(T_{y^+,x^+}\right) = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x + \sqrt{2}\int_\frac{\sqrt{2}}{2}^1 x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{\pi +2}{8} + \sqrt{2}\frac{4-\sqrt{2}}{12} = \frac{2+8\sqrt{2}+3\pi}{24}
\)
cioè ci siamo ricondotti ad un integrale singolo di una funzione in una variabile.
4) L'area totale risulta quindi:
\(\displaystyle
\operatorname{Area}(T) = \frac{\pi}{2} + 2\operatorname{Area}(T_{y^+, x^+}) =\frac{2+8\sqrt{2}+9\pi}{12}
\)
\operatorname{Area}(T) = \frac{\pi}{2} + 2\operatorname{Area}(T_{y^+, x^+}) =\frac{2+8\sqrt{2}+9\pi}{12}
\)
Errori di calcolo a parte, spero di non averne fatti
"Whisky84":
3) Facendo due rapidi calcoli trovi che le due curve, nell'insieme $T_{y^+,x^+}$ si intersecano in $A(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, e la frontiera dell'insieme rappresenta effettivamente una funzione, quindi:
\(\displaystyle
\operatorname{Area}\left(T_{y^+,x^+}\right) = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x + \sqrt{2}\int_\frac{\sqrt{2}}{2}^1 x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{\pi +2}{8} + \sqrt{2}\frac{4-\sqrt{2}}{12} = \frac{2+8\sqrt{2}+3\pi}{24}
\)
cioè ci siamo ricondotti ad un integrale singolo di una funzione in una variabile.
Mmmmhh, era così semplice...
Ora me lo riguardo e provo a calcolarlo io.
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo