Calcolo area

[mark36]

ciao mi trovo in difficolta' con il seguente problema:
Determinare l'area della parte limitata di piano individuata dal grafico
[tex]y=-\frac{1}{3} (x+6)^3[/tex]
e dalla retta di equazione
[tex]y=-2x-12[/tex]
come si risolve???? ho provato a mettere le duee funzioni in sistema per fare le intersezioni ma mi vengono numeri strani.Grazie

[D4lF4zZI0]

Sei sicuro che la prima funzione sia un polinomio di grado $3$? Il motivo di tale domanda è che avendo un siffatto polinomio l'intersezione tra le due funzioni avviene in $3$ punti e dunque si pone il problema di come definire l'area compresa tra le due funzioni

[mark36]

sicurissimo! sta proprio li il problema, non so come procedere!

[D4lF4zZI0]

Il punto è che quel sistema ammette tre soluzioni...quali prendere per determinare l'area? Purtroppo non lo so proprio

[gabriella127]

Io ho provato ad aiutarmi con una figura, le due funzioni si intersecano in tre punti, vengono due 'pezzi' di piano compresi tra i grafici delle due funzioni, i due pezzi sono uniti nel punto (-6,0), dove le due funzioni si incontrano. Poi le funzioni si incontrano in altri due punti, chiamiamoli (x1, y1) e (x2, y2), uno a sinistra e uno a destra di (-6,0). Quindi credo che basta calcolare la differenza degli integrali da x1 a -6, e poi la differenza degli integrali da -6 a x2, e quindi sommarli. Spero di essermi fatta un minimo capire, è difficilissimo descrivere una figura a parole, e sono ben lontana da saper fare un grafico su questo sito!

[mark36]

Sei stata chiarissima! Appena arrivò a casa pro vero,grazie mille per ora

[gabriella127]

grazie a te! mi aiutate sempre con le vostre osservazioni! se poi mi fai sapere la soluzione che hai trovato mi fa piacere, non ho fatto i calcoli

[chiaraotta1]

Mi pare che si potrebbe ragionare così.....
Il problema è simmetrico rispetto al punto d'intersezione delle due curve $A(-6,0)$. Allora è più semplice discuterlo prendendo un nuovo sistema di riferimento, con l'origine in $A$. In questo riferimento le nuove equazioni delle curve sono $y=-1/3x^3$ e $y=-2x$. Le due curve si intersecano in $(0, 0)$, $(-sqrt(6),2sqrt(6))$ e $(sqrt(6),-2sqrt(6))$. Vista la simmetria del problema, l'area cercata è $S=2int_(-sqrt(6))^0 (-2x-(-1/3x^3))dx=6$.

[gabriella127]

Certo, grazie, così è molto semplice!

[mark36]

Perfetto! Tutto chiaro! Come avete fatto però a trovare (-6,0)?

[gabriella127]

E' una delle soluzioni del sistema originario, quello che hai postato tu, non quello con il cambio di rieferimento

[chiaraotta1]

"mark36":...Come avete fatto però a trovare (-6,0)?

$(-6,0)$ è il flesso della cubica, che ne è anche il centro di simmetria. Poiché anche la retta passa per quel punto, esso è il centro di simmetria della configurazione delle due curve. Quindi è ovvio che, se si trasla lì l'origine del sistema di riferimento, la discussione del problema diventa molto più semplice.

[gabriella127]

Wow! Fantastico grafico! Sono nuova di questo forum e non so come fare i grafici. Quando clicco 'Inserisci grafico' mi viene una pagina nera che per visualizzare devo scaricare un plug in, è ho paura di guai con il computer, non sarebbe la prima volta.
@chiaraotta mi posso fidare secondo te? Non dice cosa si deve scaricare.

[chiaraotta1]

Per il grafico, non ho seguito la procedura che dici tu e che non conosco.
Invece ho fatto così:
1) ho tracciato il grafico con Derive;
2) ho acquisito e salvato la parte di schermata che mi interessava usando lo Strumento di cattura del sistema operativo;
3) ho caricata l'immagine salvata in http://tinypic.com/;
4) ho messo il link dell'immagine nel mio messaggio.

[gabriella127]

Grazie mille!