Calcolo 3 per fisica
Sapreste aiutarmi con questi esercizi?
1. Si risolva la seguente equazione differenziale
$\{(y' + (cosx)y = cosx),(y(0) = -1):}$
2. Si calcoli l'area della superficie della porzione di cilindro di equazione $x^2+y^2=R^2$ ($z>=0$), compresa tra i piani di equazione $z=mx$ e $z=nx$ ($m>n>0$).
3. Si calcoli il flusso uscente del campo vettoriale di componenti $v(x,y,z)=(x-y,2y+z^2,z)$, dalla superficie chiusa di equazione $x^2+y^2+z^2+2x=1$.
4. Sia data nel proprio dominio di definizione la forma differenziale
$\omega(x,y)=(y/(x^2+y^2)+(x-1)/((x-1)^2+y^2))dx+(-x/(x^2+y^2)+y/((x-1)^2+y^2))dy$.
Si calcoli
$oint_(C_r)\omega$
dove $C_r$ è la circonferenza di raggio $r$ con $r in (0,1)uu(1,+oo)$ percorsa in senso antiorario e centrata nell'origine.
5. Sia $f(x)=e^cosx$, con $c_k(f)$ i suoi coefficienti di Fourier. Si provi che
$\lim_{|k|\to\+infty}k^nc_k(f)=0$, $n=0,1,2,...$.
6.Si calcoli la trasformata di Laplace della funzione $f(x)=e^(-x^2)$.
1. Si risolva la seguente equazione differenziale
$\{(y' + (cosx)y = cosx),(y(0) = -1):}$
2. Si calcoli l'area della superficie della porzione di cilindro di equazione $x^2+y^2=R^2$ ($z>=0$), compresa tra i piani di equazione $z=mx$ e $z=nx$ ($m>n>0$).
3. Si calcoli il flusso uscente del campo vettoriale di componenti $v(x,y,z)=(x-y,2y+z^2,z)$, dalla superficie chiusa di equazione $x^2+y^2+z^2+2x=1$.
4. Sia data nel proprio dominio di definizione la forma differenziale
$\omega(x,y)=(y/(x^2+y^2)+(x-1)/((x-1)^2+y^2))dx+(-x/(x^2+y^2)+y/((x-1)^2+y^2))dy$.
Si calcoli
$oint_(C_r)\omega$
dove $C_r$ è la circonferenza di raggio $r$ con $r in (0,1)uu(1,+oo)$ percorsa in senso antiorario e centrata nell'origine.
5. Sia $f(x)=e^cosx$, con $c_k(f)$ i suoi coefficienti di Fourier. Si provi che
$\lim_{|k|\to\+infty}k^nc_k(f)=0$, $n=0,1,2,...$.
6.Si calcoli la trasformata di Laplace della funzione $f(x)=e^(-x^2)$.
Risposte
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Il Forum non è un risolutore automatico di esercizi: devi dare il tuo contributo se vuoi essere aiutato.
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Ok
1) Questo penso di averlo fatto giusto ma non avendo i risultati non ne sono sicuro
$dy/dx+(cosx)y=cosx$
$dy/(1-y)=(cosx)dx$
$\int1/(1-y)dy=\int cosx dx$
$ln(-1(1-y))=senx^k$
$-1/(1-y)=senx + c$
$-1=1+1+c$
$c=-3$
$y=(e^(senx)-2)/e^(senx)= 1-2e^(-senx)$
2) In questo non so proprio come fare, sul libro da cui l'ho preso (Boris P. Demidovic: Esercizi e problemi di analisi matematica) l'unica indicazione che mi da è che la superficie si calcola con la formula:
$\sigma=int int sqrt(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy$
e, in questo caso non so proprio come applicarla.
3) Per il flusso del campo dovrei fare l'integrale del prodotto vettoriale tra il campo stesso e la normale alla superficie ma come trovo le componenti della superficie da moltiplicare per il campo?
4) Nell'integrale non so come inserire l'intervallo con buco del raggio. Questo è quello che ho provato a fare:
integro la forma differenziale passando alle coordinate polari:
$oint((sen\gamma)/r+(rcos\gamma-1)/((rcos\gamma-1)^2+(rsen\gamma)^2))*(-rsen\gamma) + ((-cos\gamma)/r+(rsen\gamma)/((rcos\gamma-1)^2+(rsen\gamma)^2))*(rcos\gamma) d\gamma =$
$=oint(-((sen\gamma)^2+(cos\gamma)^2)-(rsen\gamma)/(r^2+1-2rcos\gamma) d\gamma=$
$=\int_{??}^? int _0^{2pi}-1-(rsen\gamma)/(r^2+1-2rcos\gamma)d\gammadr=$
$=\int_{??}^? int _{2pi}^{0}1+(rsen\gamma)/(r^2+1-2rcos\gamma)d\gammadr=$
$=\int_{??}^?[\gamma]_{2pi}^{0}+r\int_{0}^{2pi}(d(cos\gamma))/(-2rcos\gamma+1+r^2)dr=$
$=\int_{??}^?-2pi+(1/2)\int_{2pi}^{0}(d(-2rcos\gamma+r^2+1)/(-2rcos\gamma+r^2+1))dr=$
$=\int_{??}^?-2pi+[(1/2)ln|-2rcos\gamma+r^2+1|]_{2pi}^{0} dr=$
$=\int_{??}^?-2pi+(1/2)ln|(r^2-2p+1)/(r^2-2p+1)|dr=$
$=\int_{??}^?-2pi+(1/2)ln1dr=$
$=2pi\int_{?}^{??}dr=$
e a questo punto, come ho detto, non so come comportarmi con gli estremi di r.
5) Anche per questo esercizio non so come comportarmi, so come si calcolano in generale i coefficienti di Fourier di una funzione ma credo che la dimostrazione vada fatta con la trasformata di Fourier:
$1/\sqrt(2pi)\int e^(-i\omegax)*e^(cosx)dx$
e quindi dovrei risolvere
$1/\sqrt(2pi)\lim_{|k| \to \+infty}k^n\int_{0}^{+oo}e^(cosx-i\omegax)dx$
e a questo punto non so come proseguire.
6) Per quanto riguardo la trasformata di Laplace conosco le proprietà e le trasformate elementari, non sono riuscito a trovare un buon libro su cui studiare (nè il Demidovic nè il Giusti: Analisi matematica 1 e 2 trattano questo argomento) e quindi ho studiato su delle dispense prese dalla rete che però non sono state esaurienti.
1) Questo penso di averlo fatto giusto ma non avendo i risultati non ne sono sicuro
$dy/dx+(cosx)y=cosx$
$dy/(1-y)=(cosx)dx$
$\int1/(1-y)dy=\int cosx dx$
$ln(-1(1-y))=senx^k$
$-1/(1-y)=senx + c$
$-1=1+1+c$
$c=-3$
$y=(e^(senx)-2)/e^(senx)= 1-2e^(-senx)$
2) In questo non so proprio come fare, sul libro da cui l'ho preso (Boris P. Demidovic: Esercizi e problemi di analisi matematica) l'unica indicazione che mi da è che la superficie si calcola con la formula:
$\sigma=int int sqrt(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy$
e, in questo caso non so proprio come applicarla.
3) Per il flusso del campo dovrei fare l'integrale del prodotto vettoriale tra il campo stesso e la normale alla superficie ma come trovo le componenti della superficie da moltiplicare per il campo?
4) Nell'integrale non so come inserire l'intervallo con buco del raggio. Questo è quello che ho provato a fare:
integro la forma differenziale passando alle coordinate polari:
$oint((sen\gamma)/r+(rcos\gamma-1)/((rcos\gamma-1)^2+(rsen\gamma)^2))*(-rsen\gamma) + ((-cos\gamma)/r+(rsen\gamma)/((rcos\gamma-1)^2+(rsen\gamma)^2))*(rcos\gamma) d\gamma =$
$=oint(-((sen\gamma)^2+(cos\gamma)^2)-(rsen\gamma)/(r^2+1-2rcos\gamma) d\gamma=$
$=\int_{??}^? int _0^{2pi}-1-(rsen\gamma)/(r^2+1-2rcos\gamma)d\gammadr=$
$=\int_{??}^? int _{2pi}^{0}1+(rsen\gamma)/(r^2+1-2rcos\gamma)d\gammadr=$
$=\int_{??}^?[\gamma]_{2pi}^{0}+r\int_{0}^{2pi}(d(cos\gamma))/(-2rcos\gamma+1+r^2)dr=$
$=\int_{??}^?-2pi+(1/2)\int_{2pi}^{0}(d(-2rcos\gamma+r^2+1)/(-2rcos\gamma+r^2+1))dr=$
$=\int_{??}^?-2pi+[(1/2)ln|-2rcos\gamma+r^2+1|]_{2pi}^{0} dr=$
$=\int_{??}^?-2pi+(1/2)ln|(r^2-2p+1)/(r^2-2p+1)|dr=$
$=\int_{??}^?-2pi+(1/2)ln1dr=$
$=2pi\int_{?}^{??}dr=$
e a questo punto, come ho detto, non so come comportarmi con gli estremi di r.
5) Anche per questo esercizio non so come comportarmi, so come si calcolano in generale i coefficienti di Fourier di una funzione ma credo che la dimostrazione vada fatta con la trasformata di Fourier:
$1/\sqrt(2pi)\int e^(-i\omegax)*e^(cosx)dx$
e quindi dovrei risolvere
$1/\sqrt(2pi)\lim_{|k| \to \+infty}k^n\int_{0}^{+oo}e^(cosx-i\omegax)dx$
e a questo punto non so come proseguire.
6) Per quanto riguardo la trasformata di Laplace conosco le proprietà e le trasformate elementari, non sono riuscito a trovare un buon libro su cui studiare (nè il Demidovic nè il Giusti: Analisi matematica 1 e 2 trattano questo argomento) e quindi ho studiato su delle dispense prese dalla rete che però non sono state esaurienti.
Il 2) mi sembra semplicemente questo
[tex]\int_{-\pi \over 2}^{\pi \over 2} (m-n)\ R \cos \theta \ d\theta[/tex]
La formula che ti suggeriscono mi sembra inutile.
3)
La superficie è una sfera.
Ti trovi l'eq. in forma canonica (completa il quadrato), poi la trasli nell'origine così ti semplifichi la vita. Devi traslare anche il flusso, quindi la normale è il gradiente della sfera.
4) MI sembra che ti chiedono di integrare lungo la circonferenza, che è una linea. Non capisco perchè a un certo punto passi a un integrale doppio. La funz è discontinua in $r=1$, per questo non è nel dominio. Per cui alla fine hai una soluzione con parametro in $r$
[tex]\int_{-\pi \over 2}^{\pi \over 2} (m-n)\ R \cos \theta \ d\theta[/tex]
La formula che ti suggeriscono mi sembra inutile.
3)
La superficie è una sfera.
Ti trovi l'eq. in forma canonica (completa il quadrato), poi la trasli nell'origine così ti semplifichi la vita. Devi traslare anche il flusso, quindi la normale è il gradiente della sfera.
4) MI sembra che ti chiedono di integrare lungo la circonferenza, che è una linea. Non capisco perchè a un certo punto passi a un integrale doppio. La funz è discontinua in $r=1$, per questo non è nel dominio. Per cui alla fine hai una soluzione con parametro in $r$
Per la (5) non capisco perchè dici di usare la trasformata di fourier. Il testoi parla di coefficienti e solitamente ci si riferisce alla serie di fourier. Il calcolo esplicito dei coefficienti non mi sembra fattibile, però il limite che ti è chiesto (secondo me) è legato ai coefficienti della derivata $n$-esima della funzione e quindi dovresti concludere ricorrendo al teorema di Riemann-Lebesgue relativo ai coefficienti di fourier, dato che la funzione è $C^\infty$.
Per la (6) devi sfruttare il fatto che con $f(x) = e^{-x^2}$ allora $f'(x) = -2x e^{-x^2} = -2x f(x)$, usando due proprietà della trasformata di Laplace (trasformata di $f'(x)$ e trasformata di $xf(x)$) che devono essere uguali in questo caso, ti trovi così una equazione differenziale la cui soluzione è la trasformata di laplace cercata (sia che si tratti della trasformata monolatera che quella bilatera).
Per la (6) devi sfruttare il fatto che con $f(x) = e^{-x^2}$ allora $f'(x) = -2x e^{-x^2} = -2x f(x)$, usando due proprietà della trasformata di Laplace (trasformata di $f'(x)$ e trasformata di $xf(x)$) che devono essere uguali in questo caso, ti trovi così una equazione differenziale la cui soluzione è la trasformata di laplace cercata (sia che si tratti della trasformata monolatera che quella bilatera).
"Quinzio":
Il 2) mi sembra semplicemente questo
[tex]\int_{-\pi \over 2}^{\pi \over 2} (m-n)\ R \cos \theta \ d\theta[/tex]
La formula che ti suggeriscono mi sembra inutile.
Da dove viene questa formula?
Per l'esercizio 3) ho fatto così:
$\Phi=\intv*\gradA$ con A=superficie della sfera
$\gradA=(delA_x)/(delx)+(delA_y)/(dely)+(delA_z)/(delz)=2(x+y+z+1)$
$v*\gradA=2x^2+x-2xy+y+4y^2+2yz^2+2z$
a questo punto non so rispetto a cosa integrare
4) sono passato all'integrale doppio perchè $\omega$ va integrata rispetto a dx e dy, e poi passando alle coordinate polari integro rispetto a $\gamma$ e r; penso di dover inserire in qualche modo il $\lim_{r\to\1}$ nell'estremo dell'integrale ma non sono sicuro
"Ska":
dovresti concludere ricorrendo al teorema di Riemann-Lebesgue relativo ai coefficienti di fourier, dato che la funzione è $C^\infty$.
come lo applico in questo caso il teorema di Riemann-Lebesgue? é questo che intendi tu?
Se la funzione f(x) è sommabile (cioè $f(x) in L^1(R)$), allora posto
$F(w) =\int_{-oo}^{+oo}e^(−iwx)f(x)dx$
si ha
$\lim_{w\to\infty}F(w)=0$
Per la (6) ok per le proprietà ma poi non ho capito che equazione devo impostare
Quello che hai citato tu è quello relativo alla trasformata di Fourier, ce n'è uno analogo per la serie di Fourier (d'altronde sono collegate). Tu hai che $f(x) \in C^\infty$ quindi ogni derivata di $f$ è integrabile quindi lo sviluppo in serie di Fourier di $f^{(n)}(x)$ ha i coefficienti $c_k^{(n)} \rightarrow 0$ per $|k|\rightarrow \infty$ e questo ti permette di concludere dato che $c_k^{(n)} = (ik)^n c_k$ con $n > 0$.
Per il punto (6) hai $f(x) = e^{-x^2}$. Ora sai che $L[f'(x)](s) = sF(s) - f(0^+)$ ma essendo $f'(x) = -2x e^{-x^2}$ hai anche che $L[-2xe^{-x^2}](s) = 2F'(s)$ e quindi hai che $2F'(s) = sF(s) - f(0)$. Risolvendo questa equazione differenziale hai il risultato.
Per il punto (6) hai $f(x) = e^{-x^2}$. Ora sai che $L[f'(x)](s) = sF(s) - f(0^+)$ ma essendo $f'(x) = -2x e^{-x^2}$ hai anche che $L[-2xe^{-x^2}](s) = 2F'(s)$ e quindi hai che $2F'(s) = sF(s) - f(0)$. Risolvendo questa equazione differenziale hai il risultato.
"Ska":
questo ti permette di concludere dato che $c_k^{(n)} = (ik)^n c_k$ con $n > 0$.
come faccio ad arrivare a questa conclusione?
"Quinzio":
Il 2) mi sembra semplicemente questo
[tex]\int_{-\pi \over 2}^{\pi \over 2} (m-n)\ R \cos \theta \ d\theta[/tex]
nessuno mi sa dire da dove viene questa formula?
per l'esercizio 3 moltiplicando il campo per il gradiente della sfera ottengo:
$\Phi=\intv*\nablaA= \int 2x^2+x-2xy+y+4y^2+2yz^2+2z d???$
adesso non so rispetto a cosa integrare
"simobug88":
[quote="Ska"] questo ti permette di concludere dato che $c_k^{(n)} = (ik)^n c_k$ con $n > 0$.
come faccio ad arrivare a questa conclusione?[/quote]
$c_k^{(n)} =i^n k^n c_k$ e a parte il $i^n$ il resto è proprio l'argomento del tuo limite e hai che $i^n$ può valere $1,-1,i,-i$ quindi puoi dire che $k^n c_k \rightarrow 0$
"Ska":
[quote="simobug88"][quote="Ska"] questo ti permette di concludere dato che $c_k^{(n)} = (ik)^n c_k$ con $n > 0$.
come faccio ad arrivare a questa conclusione?[/quote]
$c_k^{(n)} =i^n k^n c_k$ e a parte il $i^n$ il resto è proprio l'argomento del tuo limite e hai che $i^n$ può valere $1,-1,i,-i$ quindi puoi dire che $k^n c_k \rightarrow 0$[/quote]
scusami ancora, ma come faccio a dire che $k^n c_k \rightarrow 0$ ? Ho $c_k \rightarrow 0$ ma $k^n\rightarrow oo$, perchè il prodotto tende a 0?
e la relazione $c_k^{(n)} = (ik)^n c_k$ con $n > 0$ viene da qualche teorema?
Grazie per il tuo aiuto!
Allora....
Il teorema di Riemann-Lebesgue ti dice che che data $f(x)$ sviluppabile in SdF e $\gamma_k$ i coefficienti associati allora $\gamma_k \rightarrow 0$ per $|k|\rightarrow \infty$.
Tu hai una funzione che è $C^\infty$ quindi la SdF delle derivate n-esime le puoi calcolare derivando termine a termine la serie di fourier di partenza, inoltre proprio perchè $f \in C^\infty$ allora $f^{(n)} \in C^\infty$ e quindi anche per gli sviluppi in serie delle derivate varrà il teorema di Riemann-Lebesgue, ovvero $c_k^{(n)} \rightarrow 0$ per $|k|\rightarrow \infty$. Infine hai il teorema di derivazione che ti dice che $c_k^{(n)} = (ik)^n c_k$. e quindi mettendo insieme le cose hai che $(ik)^n c_k \rightarrow 0$ per $|k|\rightarrow \infty$ da cui puoi dedurre che $k^n c_k \rightarrow 0$ per $k\rightarrow \infty$.
Il teorema di Riemann-Lebesgue ti dice che che data $f(x)$ sviluppabile in SdF e $\gamma_k$ i coefficienti associati allora $\gamma_k \rightarrow 0$ per $|k|\rightarrow \infty$.
Tu hai una funzione che è $C^\infty$ quindi la SdF delle derivate n-esime le puoi calcolare derivando termine a termine la serie di fourier di partenza, inoltre proprio perchè $f \in C^\infty$ allora $f^{(n)} \in C^\infty$ e quindi anche per gli sviluppi in serie delle derivate varrà il teorema di Riemann-Lebesgue, ovvero $c_k^{(n)} \rightarrow 0$ per $|k|\rightarrow \infty$. Infine hai il teorema di derivazione che ti dice che $c_k^{(n)} = (ik)^n c_k$. e quindi mettendo insieme le cose hai che $(ik)^n c_k \rightarrow 0$ per $|k|\rightarrow \infty$ da cui puoi dedurre che $k^n c_k \rightarrow 0$ per $k\rightarrow \infty$.
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