Calcolo 3 esercizi
Salve ragazzi, ho alcuni dubbi su come risolvere alcuni esercizi, ve ne do alcuni con la soluzione e il metodo da me usato
Potreste controllare se ho fatto bene e magari consigliare il metodo giusto.
1)
Indicare quale delle seguenti funzioni e’ la soluzione del problema di Cauchy y’=4y^(3/4) , y(0)=0
a) y=x^4-x b) y=4x^4 c) Y=0 d) y=1
secondo me e’ un eq. differenziale a variabile separabile
e lo risolta cosi’: integrale(dy/(4y^(3/4)))=integrale(dx)
pero a me esce x^4 ma non c’e’ tra i probabili risultati, ho ragione io o hanno sbagliato a scrivere?
2)
Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale w(x,y)=2ydx+2xdy lungo la curva c(t)= (cos^(2)t*sint, cost*sin^(2)t), t € [0,pigreco/2]
a)1 b)pigreco/4 c) 0 d) 2pigreco
io ho sostituito i valori della x e della y con quelli della curva
e’ ho ottenuto una cosa del tipo:
integrale da 0 a pigreco/2 di 2* cost*sin^(2)t * d(cos^(2)t*sint) + 2*cos^(2)t*sint * d(cost*sin^(2)t)
e’ sbagliato o ho dimenticato qualcosa? oppure c’e’ un metodo più semplice di questo che non riesco a risolvere nemmeno la calcolatrice programmabile ?
3)
Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale w(x,y)=-e^(x^2)dx- cosydy lungo la curva c(t)=(cos^2t, sin^2t) t€[0, pigreco]
a) -2pigreco b) 0 c)-1 d) –pigreco/4
qua mi blocco come prima
4)
Indicare quale tra le seguenti e’ la forma di una soluzione dell’equazione differenziale
y’’-2y’=e^(2x)
a) y=axe^(2x) b)y= (ax^2+b)e^(2x) c) y=ae^(2x) d) a
io ho scelto la A perche’ secondo me e’ una funzione del tipo: f(x)= e^(kx)Pn(x)
e se P(k)=0 allora la soluzione e’ del tipo Y=e^(kx) * x^h * qn(x)
percio’ axe^(2x) o sbaglio?
5)
Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(x,y)=y+e^(x+y) lungo il segmento congiungente i punti (0,0) e (0,3)
a)7/2-e^3 b) 7/2+e^3 c) 9/2+e^3 d) 0
a me e’ uscito 0 e ho risolto con un integrale doppio con 0
grazie
Potreste controllare se ho fatto bene e magari consigliare il metodo giusto.
1)
Indicare quale delle seguenti funzioni e’ la soluzione del problema di Cauchy y’=4y^(3/4) , y(0)=0
a) y=x^4-x b) y=4x^4 c) Y=0 d) y=1
secondo me e’ un eq. differenziale a variabile separabile
e lo risolta cosi’: integrale(dy/(4y^(3/4)))=integrale(dx)
pero a me esce x^4 ma non c’e’ tra i probabili risultati, ho ragione io o hanno sbagliato a scrivere?
2)
Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale w(x,y)=2ydx+2xdy lungo la curva c(t)= (cos^(2)t*sint, cost*sin^(2)t), t € [0,pigreco/2]
a)1 b)pigreco/4 c) 0 d) 2pigreco
io ho sostituito i valori della x e della y con quelli della curva
e’ ho ottenuto una cosa del tipo:
integrale da 0 a pigreco/2 di 2* cost*sin^(2)t * d(cos^(2)t*sint) + 2*cos^(2)t*sint * d(cost*sin^(2)t)
e’ sbagliato o ho dimenticato qualcosa? oppure c’e’ un metodo più semplice di questo che non riesco a risolvere nemmeno la calcolatrice programmabile ?
3)
Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale w(x,y)=-e^(x^2)dx- cosydy lungo la curva c(t)=(cos^2t, sin^2t) t€[0, pigreco]
a) -2pigreco b) 0 c)-1 d) –pigreco/4
qua mi blocco come prima
4)
Indicare quale tra le seguenti e’ la forma di una soluzione dell’equazione differenziale
y’’-2y’=e^(2x)
a) y=axe^(2x) b)y= (ax^2+b)e^(2x) c) y=ae^(2x) d) a
io ho scelto la A perche’ secondo me e’ una funzione del tipo: f(x)= e^(kx)Pn(x)
e se P(k)=0 allora la soluzione e’ del tipo Y=e^(kx) * x^h * qn(x)
percio’ axe^(2x) o sbaglio?
5)
Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(x,y)=y+e^(x+y) lungo il segmento congiungente i punti (0,0) e (0,3)
a)7/2-e^3 b) 7/2+e^3 c) 9/2+e^3 d) 0
a me e’ uscito 0 e ho risolto con un integrale doppio con 0
grazie
Risposte
intanto che mi rispondete (spero) ai primi esercizi ve ne do altri dove ho dei dubbi....
e scusate se vi disturbo, e' che lunedi ho l'esame di calcolo3 e ho dei dubbi sulla risoluzione di alcuni esercizi
ecco gli altri:
1)
Siano
F(x,y)= [4e^(-2/(radicecubica((x^2+y^2)^2)))]/[radicecubica((x^2+y^2)^5)]
E per ogni k>0 Dk= [(x,y) € R^2: 1/k^2<=x^2+y^2<=16]
Si chiede
a)Disegnare Dk
a me e’ uscito due cerchi con c(0,0) , uno con raggio di 1/k e l’altro di 4 e l’area Dk mi risulta una mezza corona che si trova sulla parte positiva della x perche K>0
b) un cambiamento di variabili che consenta il calcolo dell’integrale di f(x,y) su Dk
io ho usato le coordinate polari con x=tcosz e y=tsinz e l’integrale doppio con
-#1087;/2
c) il valore dell’integrale di f(x,y) esteso a Dk
ho svolto quell’integrale ma, arrivato a un certo punto, non so come andare avanti
mi esce 4#1087; integrale da (1/k a 4) di [e^(-2/(t^(4/3)))]/t^(4/3) dt
come si va avanti?
2)
Questa traccia l’ho fatta tutta, spero di non avere fatto errori potreste controllarmela per favore?
Siano
F(x,y)= tg((x-2)^2+y^2)
E per ogni 0
Dk=[(x,y) €R^2: (x-2)^2+y^2<=k^2 ]
Si chiede:
a)una rappresentazione grafica di Dk
a me e’ uscito una circonferenza con C(2,0) e raggio k
b)un cambiamento di variabili che consenta il calcolo dell’integrale di f(x,y) su Dk
ho usato le coordinate polari con x= 2 + tcosz e y=0+tsinz
e 0
3)
qua non so come si procede
considerata l’equazione differenziale
(E) y’’-2y’=2x+e^x
a)si chiede la soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea associata ad (E)
qua e’ facile e mi esce y=C1+C2e^(2x)
b)la forma di una soluzione particolare di (E)
qua non so proprio cosa fare, ho provato a vedere (E) come y’’-2y’=(2x/e^x+1)e^x e poi risolverlo normalmente ma non ci sono riuscito…. Mi aiutereste?
grazie ancora
e scusate se vi disturbo, e' che lunedi ho l'esame di calcolo3 e ho dei dubbi sulla risoluzione di alcuni esercizi
ecco gli altri:
1)
Siano
F(x,y)= [4e^(-2/(radicecubica((x^2+y^2)^2)))]/[radicecubica((x^2+y^2)^5)]
E per ogni k>0 Dk= [(x,y) € R^2: 1/k^2<=x^2+y^2<=16]
Si chiede
a)Disegnare Dk
a me e’ uscito due cerchi con c(0,0) , uno con raggio di 1/k e l’altro di 4 e l’area Dk mi risulta una mezza corona che si trova sulla parte positiva della x perche K>0
b) un cambiamento di variabili che consenta il calcolo dell’integrale di f(x,y) su Dk
io ho usato le coordinate polari con x=tcosz e y=tsinz e l’integrale doppio con
-#1087;/2
c) il valore dell’integrale di f(x,y) esteso a Dk
ho svolto quell’integrale ma, arrivato a un certo punto, non so come andare avanti
mi esce 4#1087; integrale da (1/k a 4) di [e^(-2/(t^(4/3)))]/t^(4/3) dt
come si va avanti?
2)
Questa traccia l’ho fatta tutta, spero di non avere fatto errori potreste controllarmela per favore?
Siano
F(x,y)= tg((x-2)^2+y^2)
E per ogni 0
Dk=[(x,y) €R^2: (x-2)^2+y^2<=k^2 ]
Si chiede:
a)una rappresentazione grafica di Dk
a me e’ uscito una circonferenza con C(2,0) e raggio k
b)un cambiamento di variabili che consenta il calcolo dell’integrale di f(x,y) su Dk
ho usato le coordinate polari con x= 2 + tcosz e y=0+tsinz
e 0
3)
qua non so come si procede
considerata l’equazione differenziale
(E) y’’-2y’=2x+e^x
a)si chiede la soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea associata ad (E)
qua e’ facile e mi esce y=C1+C2e^(2x)
b)la forma di una soluzione particolare di (E)
qua non so proprio cosa fare, ho provato a vedere (E) come y’’-2y’=(2x/e^x+1)e^x e poi risolverlo normalmente ma non ci sono riuscito…. Mi aiutereste?
grazie ancora
nessuno mi aiuta? ho scritto male qualcosa?
ciao
ciao
Hai postato una valanga di esercizi!
Non ho la forza per mettermi a rispondere a tutti. Ecco qualcosa che ho visto leggendoli:
1)
Si inizia sempre dalle cose piu' facili: sostituisci y=0 ed esce fuori un bel 0=0. Per cui questa e' una soluzione. (puo' essere che ce ne siano piu' di una visto che non c'e' la condizione di Lipshitz)
2)
E' molto piu' facile calcolare il potenziale e poi sostituire il valore iniziale e finale della curva nella formula del potenziale e fare la differenza. La forma differenziale e', infatti, chiusa. Era da aspettarselo data la complessita' della curva.
3)
Idem come sopra se non mi sbaglio le derivate in croce sono nulle (e quindi ugualI)
4)
Questi e' quasi sempre meglio derivare una per una tutte le funzioni (partendo da quelle piu' facili e solo quelle che rispettano il vincolo di Cauchy) e provare a controllare
5)
Per questo devi parametrizzare il segmento (0,0)-(0,3) (combinazione lineare convessa) poi restringere la funzione al segmento e calcolare l'integrale (che sara' in una sola variabile) della funzione risultante.
Non ho la forza per mettermi a rispondere a tutti. Ecco qualcosa che ho visto leggendoli:
1)
Si inizia sempre dalle cose piu' facili: sostituisci y=0 ed esce fuori un bel 0=0. Per cui questa e' una soluzione. (puo' essere che ce ne siano piu' di una visto che non c'e' la condizione di Lipshitz)
2)
E' molto piu' facile calcolare il potenziale e poi sostituire il valore iniziale e finale della curva nella formula del potenziale e fare la differenza. La forma differenziale e', infatti, chiusa. Era da aspettarselo data la complessita' della curva.
3)
Idem come sopra se non mi sbaglio le derivate in croce sono nulle (e quindi ugualI)
4)
Questi e' quasi sempre meglio derivare una per una tutte le funzioni (partendo da quelle piu' facili e solo quelle che rispettano il vincolo di Cauchy) e provare a controllare
5)
Per questo devi parametrizzare il segmento (0,0)-(0,3) (combinazione lineare convessa) poi restringere la funzione al segmento e calcolare l'integrale (che sara' in una sola variabile) della funzione risultante.
Scusami effettivamente sopra non si capisce.
Mi sto' riferendo ai primi 5 esercizi che hai postato.
Nel punto 4 mi riferisco alle funzioni che ti danno fra quelle da scegliere nell'esercizio a crocette. Facendo come ho detto sopra si riduce l'esercizio a un calcolo di analisi 1 ed e' difficile sbagliare (risolvere le equazioni si puo' sempre fare qualche c..ta)
Mi sto' riferendo ai primi 5 esercizi che hai postato.
Nel punto 4 mi riferisco alle funzioni che ti danno fra quelle da scegliere nell'esercizio a crocette. Facendo come ho detto sopra si riduce l'esercizio a un calcolo di analisi 1 ed e' difficile sbagliare (risolvere le equazioni si puo' sempre fare qualche c..ta)
grazie david_e per le risposte e scusate per i troppi esercizi ma non sapevo a chi rivolgermi, comunque me ne basta qualcuno risolto o corretto.
1) quindi la soluzione del primo e' y=o , anche x^4 e' giusto?
2) ho calcolato il potenziale ed esce 2xy, ho messo al posto delle x cos^(2)t*sint e delle y cost*sin^(2)t ma non ho capito la parte che hai detto sulla differenza.... io ho provato a fare l'integrale da 0 e pigreco/2 ....
4) anche io ho proceduto a derivare le risposte a una ad una ma sostituendole nell'equazione differenziale non mi da e^2x, ho sempre la a fra i piedi....forse perche la a non e' definita? o ho sbagliato?
5)ho messo x=0 e Y=t con T (0,3) e ho sostituito nella funzione e ho integrato, alla fine e' uscito! grazie
1) quindi la soluzione del primo e' y=o , anche x^4 e' giusto?
2) ho calcolato il potenziale ed esce 2xy, ho messo al posto delle x cos^(2)t*sint e delle y cost*sin^(2)t ma non ho capito la parte che hai detto sulla differenza.... io ho provato a fare l'integrale da 0 e pigreco/2 ....
4) anche io ho proceduto a derivare le risposte a una ad una ma sostituendole nell'equazione differenziale non mi da e^2x, ho sempre la a fra i piedi....forse perche la a non e' definita? o ho sbagliato?
5)ho messo x=0 e Y=t con T (0,3) e ho sostituito nella funzione e ho integrato, alla fine e' uscito! grazie
4.
Prendendo la prima si arriva al risultato cercato pur di porre a=1/2.... Credo che nell'esercizio chiedesse solo la forma della soluzione per cui a si puo' "accomodare"....
2.
Una volta trovato il potenziale (che indico con U) l'integrale da "a" a "b" lungo un QUALUNQUE cammino e':
U(b)-U(a)
Per cui devi solo calcolare il primo e l'ultimo punto della curva e poi sostituire nel potenziale. (in pratica sostituisci prima 0 e poi pi/2 nell'espressione della curva).
Prendendo la prima si arriva al risultato cercato pur di porre a=1/2.... Credo che nell'esercizio chiedesse solo la forma della soluzione per cui a si puo' "accomodare"....
2.
Una volta trovato il potenziale (che indico con U) l'integrale da "a" a "b" lungo un QUALUNQUE cammino e':
U(b)-U(a)
Per cui devi solo calcolare il primo e l'ultimo punto della curva e poi sostituire nel potenziale. (in pratica sostituisci prima 0 e poi pi/2 nell'espressione della curva).
GRAZIE! ora ho capito !
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