Calcoli integrale (funzioni trigonometriche)

[ludwigZero]

Ciao a tutti, il mio ultimo problema è 'fare i calcoli', ho notato che nel libro che uso di errori nei risultati ce ne sono a bizzeffe, e quindi arrivo al punto che non so se sono io che sbaglio o c'è un errore di stampa

Arrivo al punto:
ho questa somma di integrali:

$8/3 \int sen^3 x dx + 8/3 \int cos^3 x dx$

dove l'integrale sul $sin$ è fatto su: $[0, \pi/4]$ e l'integrale sul $cos$ è fatto su $[\pi/4, \pi/2]$

io so che:

$\int cos^3 x dx = sin x - 1/3 sin^3 x + c$

$\int sin^3 x dx = 1/3 cos^3 x -cos x + c$

il tutto verrebbe:

$8/3 [( sin (\pi/4) -1/3 sin^3 (\pi/4) - sin 0 + 1/3 sin^3 0) + (1/3 cos^3 pi/2 - cos (\pi/2) - 1/3 cos^3 pi/4 + cos (\pi/4))]$

infine (facendo qualche calcolo) ottengo:

$8/3 ( sqrt(2)/2 -1/3 (sqrt(2)/2)^3 -1/3 (sqrt(2)/2)^3 + sqrt(2)/2 ) = sqrt(2)/3 [ 8 - 1/6) = (47/6) sqrt(2)/3$

l'ho rifatto 3 volte e mi viene sempre questo risultato *_*
dov è l'impiccio?


grazie.

[Bfilos1]

Hai fatto un errore alla fine secondo me...
$=8/3*[sqrt(2)-2/3*(2*sqrt(2)/8)]=8/3*(sqrt(2)-sqrt(2)/6)=8/3*5/6*sqrt(2)= 20/9sqrt(2)$
Prova a controllare il risultato... Magari ho sbagliato anche io...

[ludwigZero]

secondo il libro dovrebbe venire:
$4/9 (8 - 5 sqrt(2))$ :S

[Bfilos1]

Ho trovato l'errore...
$8/3int_0^{\pi/4}sen^3xdx+8/3int_{\pi/4}^{\pi/2}cos^3xdx=$
$=8/3[1/3cos^3{\pi/4}-cos{\pi/4}-1/3cos^3(0)+cos(0)+sen{\pi/2}-1/3^3{\pi/2}-sen{\pi/4}+1/3sen^3{\pi/4}]=$
$=8/3[sqrt(2)/12-sqrt(2)/2-1/3+1+1-1/3-sqrt(2)/2+sqrt(2)/12]=$
$=8/3[4/3-5/6sqrt(2)]=32/9-20/9sqrt(2)=4/9(8-5sqrt(2))$