Calcolare volume del solido limitato

[luporaptor]

calcolare volume del solido limitato dal piano xy, dal cilindro di equazione x^2+y^2=2x e del cono di equazione $ sqrt(x^2+y^2)=z $ .
per il calcolo ho pensato di passare a coordinate cilindriche ma non sono sicuro di poterlo fare dato ke il cilindro non è centrato sull'asse delle z. In ogni caso non riesco a pensare a quale possa essere la limitazione su z in quanto fatico a immaginarmi i 2 piani nello spazio. Avevo pensato a $xy riassumendo imposterei $ V=int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) int_(r^2cosphisinphi )^(r) r dz dr dphi =2/3pi $

[ciampax]

Le limitazioni vengono fuori, direttamente, dal cambiamento di coordinate. Tuttavia io osserverei, per prima cosa, che il cilindro può riscriversi secondo l'equazione $(x-1)^2+y^2=1$. Questo suggerisce di usare le coordinate cilindriche scritte così: $x=1+r\cos t,\ y=r\sin t,\ z=z$, il cui Jacobiano continua ad essere $J=r$. Le condizioni che delimitano il volume divengono allora
$$z\ge 0,\ z\le\sqrt{r^2+2r\cos t+1},\ r^2\le 1$$
le quali ti permettono di affermare che $t\in[0,2\pi]$ (come vedi, è $z$ a dipendere dall'angolo, mentre non ci sono ulteriori condizioni sull'angolo $t$ stesso, cosa che invece non accade se usi le semplici coordinate cilindriche). Inoltre segue che $0\le z\le \sqrt{r^2+2r\cos t+1},\ 0\le r\le 1$. Pertanto l'integrale diventa
$$\int_0^{2\pi}\int_0^{1}\int_0^{\sqrt{r^2+2r\cos t+1}} r\ dz\ dr\ dt$$
Ti consiglio di integrare prima rispetto a $z$ e poi rispetto a $r$, lasciando per ultimo l'integrale rispetto ad $t$.