Calcolare una somma

[Giuly191]

Devo calcolare la somma di questa serie $ S(x)=sum_(1)^(oo)x^(5n)/n $, la derivo e ottengo $S'(x)=5sum_(1)^(oo)x^(5n-1)$, cambio indici $S'(x)=5sum_(0)^(oo)x^(5n)$. A questo punto scrivo la somma di quella serie geometrica che dovrebbe essere: $S'(x)=5/(1-x^5)$ $x in (-1,1)$.
Per ottenere quella che mi serve dovrei integrare $S'$, ma mi sembra un bel pastrocchio, cosa che mi fa pensare di aver sbagliato qualcosa.
Qualcuno sa dirmi se ho fatto bene?

[Gi81]

hai fatto un errore quando cambi indici: $S'(x)=5*sum_(m=0)^(+oo) x^(5(m+1)-1)$, non come hai scritto tu.

In ogni caso ti consiglio una strada più comoda: guarda qui

[Giuly191]

Sei sicuro che il cambiamento di indici sia sbagliato? Se la serie derivata è quella a me non sembra.
E comunque su quella pagina di Wiki trovo delle somme già fatte, io devo proprio calcolarla. Non capisco bene a cosa mi volessi indirizzare!

[Gi81]

Prima avevi $n$ che variava tra $1 $ e $+oo$
poi fai il cambiamento di variabile $m=n-1$, quindi $m$ varia tra $0$ e $+oo$

Quindi $x^(5n-1)=x^(5(m+1)-1)=x^(5m+4)$

Nel link che ti ho dato c'è scritta una serie che potrebbe interessarti:$sum_(n=1)^(+oo) x^n/n=-log(1-x)$ se $|x|<1$

[Giuly191]

Hai ragione, grazie della dritta.
Però ho un'altra obiezione, quella serie la conosco bene e ne so calcolare la somma, ma non mi risulta che quella che sto cercando ora abbia somma $-log(1-x^5)$, o sì?
E poi l'esercizio mi dà proprio il suggerimento di passare per la serie derivata, quindi in qualche modo quello che ho fatto andava fatto.
Tra l'altro grazie all'errore che mi hai fatto notare riesco a proseguire infatti:
$S'(x)=5sum_(0)^(oo)x^(5n+4)=S'(x)=5x^4sum_(0)^(oo)x^(5n)=(5x^4)/(1-x^5)$
la cui primitiva si calcola velocemente ed è $S(x)=-log(1-x^5)$, a quanto pare la risposta era sì!
Grazie di tutto!

[Gi81]

"Giuly19":Hai ragione, grazie della dritta.
Però ho un'altra obiezione, quella serie la conosco bene e ne so calcolare la somma, ma non mi risulta che quella che sto cercando ora abbia somma $-log(1-x^5)$, o sì?

Sì

"Giuly19":E poi l'esercizio mi dà proprio il suggerimento di passare per la serie derivata, quindi in qualche modo quello che ho fatto andava fatto.

Ok, perdonami ma non sapendolo cercavo di farti risparmiare tempo con passaggi più immediati.

"Giuly19":Tra l'altro grazie all'errore che mi hai fatto notare riesco a proseguire infatti:
$S'(x)=5sum_(0)^(oo)x^(5n+4)=S'(x)=5x^4sum_(0)^(oo)x^(5n)=(5x^4)/(1-x^5)$
la cui primitiva si calcola velocemente ed è $S(x)=-log(1-x^5)$, a quanto pare la risposta era sì!
Grazie di tutto!

Meglio così. Tutto torna, dunque. Prego, figurati

[dissonance]

"Giuly19":E poi l'esercizio mi dà proprio il suggerimento di passare per la serie derivata

E infatti, prova a calcolare lo sviluppo di Taylor di $log(1+x)$, che ci ricorda Gi8. Il modo più semplice è proprio quello di derivare:

$d/(dx)log(1+x)=1/(1+x)$

poi sviluppare la derivata mediante formule note (in questo caso, la serie geometrica)

$1/(1-(-x))=sum_{n=0}^infty (-1)^nx^n$

quindi integrare

$log(1+x)=sum_{n=0}^infty (-1)^n int_0^x t^n dt=sum_{m=1}^infty (-1)^(m-1) (x^m)/m$.

Morale della favola: i due metodi proposti sono solo apparentemente diversi.