Calcolare un limite senza usare il teorema di de l'hòpital

[gingrenade]

Aiutooooo!!! ho incontrato quest'esercizio all'apparenza molto semplice ma la traccia non mi permette di usare il teorema di de l'hòpital e quindi di risolverlo come si fa di solito.....l'esercizio è il seguente:
Calcolare il seguente limite senza usare il teorema di de l'Hòpital:
$ lim_(x -> 4) (2^x-16)/(8^(x-2)-64 $

ho provato a risolvere l'esercizio mettendo in evidenza il 2 dato che tutti i numeri sono multipli di 2 ma non credo che sia la strada giusta....
grazie!!!

[kobeilprofeta]

Puoi iniziare a scriverlo come $lim_(x->4) (2^x-2^4)/(2^(3x-6)-2^6)$ cioè $(2^x-2^4)/(2^x*2^x*2^x*2^(-6)-2^6)$. Applico la sostituzione $2^x=t$. Se $x->4$, $2^x=t -> 2^4$. Quindi viene $lim_{t->2^4} (t-2^4)/(2^(-6)*t^3-2^6)$.

[gingrenade]

grazie mille kobeil ! quindi il limite dovrebbe far 0 ???

[Brancaleone1]

"gingrenade":quindi il limite dovrebbe far 0 ???

No, controlla meglio i conti

"kobeilprofeta":Puoi iniziare a scriverlo come $lim_(x->4) (2^x-2^4)/(2^(3x-6)-2^6)$ cioè $(2^x-2^4)/(2^x*2^x*2^x*2^(-6)-2^6)$. Applico la sostituzione $2^x=t$. Se $x->4$, $2^x=t -> 2^4$. Quindi viene $lim_{t->2^4} (t-2^4)/(2^(-6)*t^3-2^6)$.

Troppo complicato
Molto meglio uno sviluppo di Taylor centrato in $x_0=4$, basta fermarsi al prim'ordine...

[gingrenade]

ok. Grazie per la risposta brancaleone ma al momento sto ancora sbattendo la testa sullo sviluppo di taylor che purtroppo pensavo di saper applicare....
Lo sviluppo al primo ordine mi dice che :
$ lim_(x -> x0)f(x)= f(x0)+f'(x0)(x-x0) $

è giusto? applicando semplicemente la formula non riesco ad arrivare a nessun risultato....ho provato a vedere alcuni video e ad informarmi meglio e di solito ho notato che si fa uso dei limiti notevoli o comunque si cerca di scomporre la f(x)...come posso muovermi in questo caso???
Grazie infinite per l'attenzione e l'aiuto!!!

[kobeilprofeta]

"Brancaleone":[quote="gingrenade"]quindi il limite dovrebbe far 0 ???

No, controlla meglio i conti

"kobeilprofeta":Puoi iniziare a scriverlo come $lim_(x->4) (2^x-2^4)/(2^(3x-6)-2^6)$ cioè $(2^x-2^4)/(2^x*2^x*2^x*2^(-6)-2^6)$. Applico la sostituzione $2^x=t$. Se $x->4$, $2^x=t -> 2^4$. Quindi viene $lim_{t->2^4} (t-2^4)/(2^(-6)*t^3-2^6)$.

Troppo complicato
Molto meglio uno sviluppo di Taylor centrato in $x_0=4$, basta fermarsi al prim'ordine... [/quote]


Concordo sul fatto che il mio metodo non porti risultati immediati... Comunque a me risulta $1/12$, peró boh, magari sbaglio...

[axpgn]

"kobeilprofeta":Comunque a me risulta $1/12$

Yes, verificato graficamente, sembra così ...

[Brancaleone1]

"kobeilprofeta":
Concordo sul fatto che il mio metodo non porti risultati immediati... Comunque a me risulta $1/12$, peró boh, magari sbaglio...

Sì il risultato è giusto

"gingrenade":
Lo sviluppo al primo ordine mi dice che :
$ lim_(x -> x0)f(x)= f(x0)+f'(x0)(x-x0) $

Bisogna sviluppare $2^x$ e $8^(x-2)$ in $x_0=4$. Per prima cosa si ricavano le due derivate:

$D[2^x]=2^xln(2)$

$D[8^(x-2)]=8^(x-2)ln(8)$

Lo sviluppo di Taylor per i due termini è dunque:

$T_(x_0=4)[2^x]=16+16ln(2)(x-4)+o(x)$

$T_(x_0=4)[8^(x-2)]=64+64ln(8)(x-4)+o(x)$

e sostituendo si ottiene:

$lim_(x->4)(2^x-16)/(8^(x-2)-64)=([16+16ln(2)(x-4)]-16)/([64+64ln(8)(x-4)]-64)=(ln(2))/(4ln(8))=(ln(2))/(12ln(2))=1/12$

[gingrenade]

Grazie mille Brancaleone!! mi hai aiutato tantissimo!!! non riesco ancora a capire però come 4ln(8) possa diventare 12ln(2) scusa per l'insistenza e grazie infinite per la pazienza e la disponibilità

[thedarkhero]

$4ln(8)=4ln(2^3)=4*3ln(2)=12ln(2)$

[gingrenade]

è vero!!! le proprietà dei logaritmi... scusami,e grazie ancora

[gingrenade]

grazie!!!