Calcolare un limite.
Buonasera,
Calcolare il seguente limite \(\displaystyle lim_{x\to 0^+}\tfrac{xsin\sqrt{x}-xe^\sqrt{x}+x}{tanx^2} \)
Svolgendo i calcoli arrivo al seguente risultato \(\displaystyle lim_{x\to 0^+}\tfrac{xsin\sqrt{x}-xe^\sqrt{x}+x}{tanx^2}=\tfrac{0}{0} \), cioè ad una forma indeterminata.
Allora \(\displaystyle f(x)= \tfrac{xsin\sqrt{x}}{tanx^2}-\tfrac{e^\sqrt{x}+x}{tanx^2}=\tfrac{x}{tanx^2}(sin\sqrt{x}-e^\sqrt{x}+1)=\tfrac{x}{\tfrac{sinx^2}{cosx^2}}(sin\sqrt{x}-e^\sqrt{x}+1)=\tfrac{x}{sinx^2}(\tfrac{1}{cosx^2}sin\sqrt{x}-\tfrac{1}{cosx^2}e^\sqrt{x}+1)=\tfrac{x}{sinx^2}(\tfrac{1}{cosx^2}sin\sqrt{x}-\tfrac{1}{cosx^2}(e^\sqrt{x}-1))\).
Posto
\(\displaystyle \sqrt{x}=y \)
\(\displaystyle x=y^2 \)
se \(\displaystyle x\to 0^+ \) allora \(\displaystyle y\to 0 \), quindi \(\displaystyle f(x) \) risulta
\(\displaystyle f(x)=\tfrac{y^2}{siny^4}(\tfrac{1}{cosy^4}siny-\tfrac{1}{cosy^4}(e^y-1))=\tfrac{y}{siny^4}(\tfrac{1}{cosy^4}\tfrac {siny}{y}-\tfrac{1}{cosy^4}\tfrac{(e^y-1)}{y})=(\tfrac{siny^4}{cosy^4}\tfrac {siny}{y}-\tfrac{siny^4}{cosy^4}\tfrac{(e^y-1)}{y})=(tany^4\tfrac {siny}{y}-tany^4\tfrac{(e^y-1)}{y}).\) \)
quindi il \(\displaystyle lim_{x\to 0^+}\tfrac{xsin\sqrt{x}-xe^\sqrt{x}+x}{tanx^2}=lim_{y\to 0}(tany^4\tfrac {siny}{y}-tany^4\tfrac{(e^y-1)}{y})=0(1)-0(1)=0-0=0. \)
Calcolare il seguente limite \(\displaystyle lim_{x\to 0^+}\tfrac{xsin\sqrt{x}-xe^\sqrt{x}+x}{tanx^2} \)
Svolgendo i calcoli arrivo al seguente risultato \(\displaystyle lim_{x\to 0^+}\tfrac{xsin\sqrt{x}-xe^\sqrt{x}+x}{tanx^2}=\tfrac{0}{0} \), cioè ad una forma indeterminata.
Allora \(\displaystyle f(x)= \tfrac{xsin\sqrt{x}}{tanx^2}-\tfrac{e^\sqrt{x}+x}{tanx^2}=\tfrac{x}{tanx^2}(sin\sqrt{x}-e^\sqrt{x}+1)=\tfrac{x}{\tfrac{sinx^2}{cosx^2}}(sin\sqrt{x}-e^\sqrt{x}+1)=\tfrac{x}{sinx^2}(\tfrac{1}{cosx^2}sin\sqrt{x}-\tfrac{1}{cosx^2}e^\sqrt{x}+1)=\tfrac{x}{sinx^2}(\tfrac{1}{cosx^2}sin\sqrt{x}-\tfrac{1}{cosx^2}(e^\sqrt{x}-1))\).
Posto
\(\displaystyle \sqrt{x}=y \)
\(\displaystyle x=y^2 \)
se \(\displaystyle x\to 0^+ \) allora \(\displaystyle y\to 0 \), quindi \(\displaystyle f(x) \) risulta
\(\displaystyle f(x)=\tfrac{y^2}{siny^4}(\tfrac{1}{cosy^4}siny-\tfrac{1}{cosy^4}(e^y-1))=\tfrac{y}{siny^4}(\tfrac{1}{cosy^4}\tfrac {siny}{y}-\tfrac{1}{cosy^4}\tfrac{(e^y-1)}{y})=(\tfrac{siny^4}{cosy^4}\tfrac {siny}{y}-\tfrac{siny^4}{cosy^4}\tfrac{(e^y-1)}{y})=(tany^4\tfrac {siny}{y}-tany^4\tfrac{(e^y-1)}{y}).\) \)
quindi il \(\displaystyle lim_{x\to 0^+}\tfrac{xsin\sqrt{x}-xe^\sqrt{x}+x}{tanx^2}=lim_{y\to 0}(tany^4\tfrac {siny}{y}-tany^4\tfrac{(e^y-1)}{y})=0(1)-0(1)=0-0=0. \)
Risposte
Basta usare gli asintotici o taylor..
$xe^{sqrt(x)} -x = x(e^{sqrt(x)}-1) ~ x sqrt(x) $ e $tan x^2 ~ x^2 $ e con gli opportuni o piccoli per X tendente a 0
$xe^{sqrt(x)} -x = x(e^{sqrt(x)}-1) ~ x sqrt(x) $ e $tan x^2 ~ x^2 $ e con gli opportuni o piccoli per X tendente a 0
Ciao galles90,
Concordo con mic999, ma non ci si può fermare al primo ordine a numeratore perché a numeratore si verificano delle cancellazioni. Si ha:
$lim_{x \to 0^+} frac{x sin sqrt{x} - x e^{sqrt{x}} + x}{tan x^2} = lim_{x \to 0^+} frac{frac{1}{sqrt{x}} \cdot frac{sin sqrt{x}}{sqrt{x}} - frac{1}{sqrt{x}} \cdot frac{e^{sqrt{x}} - 1}{sqrt{x}}}{frac{tan x^2}{x^2}} = lim_{x \to 0^+} frac{frac{1}{sqrt{x}} \cdot (frac{sin sqrt{x}}{sqrt{x}} - frac{e^{sqrt{x}} - 1}{sqrt{x}})}{frac{tan x^2}{x^2}} = $
$ = lim_{x \to 0^+} frac{frac{1}{sqrt{x}} \cdot [1 - x/6 + o(x^2) - (1 + sqrt{x}/2 + x/6 + x^{3/2}/24 + o(x^2))]}{frac{tan x^2}{x^2}} = $
$ = lim_{x \to 0^+} frac{frac{1}{sqrt{x}} \cdot [- sqrt{x}/2 - x/3 - x^{3/2}/24 + o(x^2)]}{frac{tan x^2}{x^2}} = - 1/2 $
Concordo con mic999, ma non ci si può fermare al primo ordine a numeratore perché a numeratore si verificano delle cancellazioni. Si ha:
$lim_{x \to 0^+} frac{x sin sqrt{x} - x e^{sqrt{x}} + x}{tan x^2} = lim_{x \to 0^+} frac{frac{1}{sqrt{x}} \cdot frac{sin sqrt{x}}{sqrt{x}} - frac{1}{sqrt{x}} \cdot frac{e^{sqrt{x}} - 1}{sqrt{x}}}{frac{tan x^2}{x^2}} = lim_{x \to 0^+} frac{frac{1}{sqrt{x}} \cdot (frac{sin sqrt{x}}{sqrt{x}} - frac{e^{sqrt{x}} - 1}{sqrt{x}})}{frac{tan x^2}{x^2}} = $
$ = lim_{x \to 0^+} frac{frac{1}{sqrt{x}} \cdot [1 - x/6 + o(x^2) - (1 + sqrt{x}/2 + x/6 + x^{3/2}/24 + o(x^2))]}{frac{tan x^2}{x^2}} = $
$ = lim_{x \to 0^+} frac{frac{1}{sqrt{x}} \cdot [- sqrt{x}/2 - x/3 - x^{3/2}/24 + o(x^2)]}{frac{tan x^2}{x^2}} = - 1/2 $
Grazie ad entrambi per le risposte, 
mi dispiace per pilloeffe in quanto ha dovuto riportare tutta la risoluzione dell'esercizio, ma io agli sviluppi non ci sono ancora arrivato.
Se non ci sono altri medoti per risolverlo non fa niente.
Ma almeno la posizione che ho fatto è corretta ?
Ciao
mi dispiace per pilloeffe in quanto ha dovuto riportare tutta la risoluzione dell'esercizio, ma io agli sviluppi non ci sono ancora arrivato.
Se non ci sono altri medoti per risolverlo non fa niente.
Ma almeno la posizione che ho fatto è corretta ?
Ciao
"galles90":
mi dispiace per pilloeffe in quanto ha dovuto riportare tutta la risoluzione dell'esercizio
Ma figurati, se non mi piacesse fare queste cose non starei su questo forum...
"galles90":
ma io agli sviluppi non ci sono ancora arrivato.
Beh, credo che ormai i tempi siano maturi per affrontarli...
"galles90":
Se non ci sono altri metodi per risolverlo non fa niente.
Mah, mai dire mai, ma la vedo dura... Comunque con gli sviluppi è più veloce.
"galles90":
Ma almeno la posizione che ho fatto è corretta ?
La posizione è corretta, ma il risultato come hai potuto vedere è sbagliato.
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