Calcolare Sviluppo in Serie di Laurent
Cercherò di essere ermetico: non riesco a trovare una fonte qualsiasi (compresibile) che spieghi come affrontare esercizi di questo tipo: "Trovare lo sviluppo in serie di Laurent attorno a 0 e nelle regioni indicate, delle seguenti funzioni..." ve le posto
a) sen (1/z) in 0 < |z| < +inf
b) z/(z+1) in 0 < IzI < 1 e in 1 < |z| < +inf
c) 1/ [z(z+1)] in 0 < |z| < 1
d) e^z / z^2 (sarebbe "e" elevato alla zeta fratto zeta quadro XD) in 0 < |z| < +inf
Le domande che pongo sono due:
1) esiste un algoritmo (o procedura che dir si voglia) da poter seguire per questo genere di esercizi ? (Se sì, qual'è? XD)
2) Pur avendo le soluzioni di questi esercizi, non ho le procedure e quindi sono piuttosto perplesso, non so nemmeno dove mettere le mani. Qualcuno saprebbe illustrarmi almeno uno tra questi esercizi ? Grazie anticipatamente per l'aiuto.
P.S. E' il mio primo post... sono anni che non frequento un forum (l'ultima volta avevo tipo 14 anni) quindi chiedo scusa per tutte le violazioni possibili che ho commesso -_-! Volevo fare un post con tutte le formulette fighe in stile latex ma poi ho rinunciato (la prossima volta in caso smanetto di più).
a) sen (1/z) in 0 < |z| < +inf
b) z/(z+1) in 0 < IzI < 1 e in 1 < |z| < +inf
c) 1/ [z(z+1)] in 0 < |z| < 1
d) e^z / z^2 (sarebbe "e" elevato alla zeta fratto zeta quadro XD) in 0 < |z| < +inf
Le domande che pongo sono due:
1) esiste un algoritmo (o procedura che dir si voglia) da poter seguire per questo genere di esercizi ? (Se sì, qual'è? XD)
2) Pur avendo le soluzioni di questi esercizi, non ho le procedure e quindi sono piuttosto perplesso, non so nemmeno dove mettere le mani. Qualcuno saprebbe illustrarmi almeno uno tra questi esercizi ? Grazie anticipatamente per l'aiuto.
P.S. E' il mio primo post... sono anni che non frequento un forum (l'ultima volta avevo tipo 14 anni) quindi chiedo scusa per tutte le violazioni possibili che ho commesso -_-! Volevo fare un post con tutte le formulette fighe in stile latex ma poi ho rinunciato (la prossima volta in caso smanetto di più).
Risposte
Su, coraggio, non siate timidi...
[xdom="Camillo"]Non hai compreso lo spirito del Forum che non è quello di un risolutore automatico di esercizi. Ti invito a leggere il regolamento e quindi a indicare i tuoi tentativi di soluzione e i punti in cui hai trovato difficoltà[/xdom].
Ehm... Il regolamento l'ho letto. Se non so dove mettere le mani non è che posso inventarmelo l'esercizio. Non ricorro mai ai forum... ma sono veramente disperato. Non ho alcun tentativo da postare ... lo spirito del forum l'ho compreso eccome. Almeno quello.
Apri il libro, le dispense o gli appunti al capitolo Sviluppo di Laurent , leggilo e guarda anche gli esempi .
Posto quel che sono riuscito a fare:
a) $ sin(1/z) $ a quanto pare è uno sviluppo notevole che ho trovato su una tabella. Il risultato coincide. Pertanto ho lasciato perdere e sono passato al successivo senza farmi troppe domande sul perché viene assegnato un esercizio del genere.
b) $ z / (z+1) $ l'ho scomposto in fratti semplici ottenendo $ f(z) = - 1/ (z+1) $ dal quale ho dedotto che lo sviluppo, egualiando tale funzione a $ 1 / (1-q) $ poteva essere $ sum_(n = o)^(+oo ) (z+2)^(n) $ .
Però non so bene che fare con l'intervallo dato. Ovviamente il risultato non coincide perché in esso vi sono 2 sviluppi diversi, uno per ogni intervallo dato. Oltre al fatto che è diverso.
c) $ 1 / (z(z+1)) $ Questo è l'unico esercizio che mi viene corretto: Ho :
1) Scomposto in fratti semplici (trovando gli zeri e i residui), mi pare di aver capito che i residui (-1 e +1) si trovano fuori dall'intervallo dato e la funzione diventa $ f(z) = 1 / z - 1 / (z+1) $ e quindi
2) Considerato l'intervallo. Lo sviluppo mi viene $ 1 / z - sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^(n)(z)^(n) $. Tutto liscio diciamo, a parte il fatto che non ho ben capito che ci devo fare con l'intervallo dato.
d) $ e^{z} / z^2 $ Questo proprio mi ha fatto impazzire. Ho rifatto mille volte la scomposizione in fratti semplici e mi viene sempre: $ f(z) = 1/z + 1/z^2 $ che sembrano essere giusti perché nel risultato compaiono ma lo sviluppo sulle soluzioni risulta essere: $ 1/z^2 + 1/z + sum_(n = 0)^(+oo) z^n/(n!) $. Per quanto mi sia sforzato non riesco a capire bene ste serie di Laurent.
a) $ sin(1/z) $ a quanto pare è uno sviluppo notevole che ho trovato su una tabella. Il risultato coincide. Pertanto ho lasciato perdere e sono passato al successivo senza farmi troppe domande sul perché viene assegnato un esercizio del genere.
b) $ z / (z+1) $ l'ho scomposto in fratti semplici ottenendo $ f(z) = - 1/ (z+1) $ dal quale ho dedotto che lo sviluppo, egualiando tale funzione a $ 1 / (1-q) $ poteva essere $ sum_(n = o)^(+oo ) (z+2)^(n) $ .
Però non so bene che fare con l'intervallo dato. Ovviamente il risultato non coincide perché in esso vi sono 2 sviluppi diversi, uno per ogni intervallo dato. Oltre al fatto che è diverso.
c) $ 1 / (z(z+1)) $ Questo è l'unico esercizio che mi viene corretto: Ho :
1) Scomposto in fratti semplici (trovando gli zeri e i residui), mi pare di aver capito che i residui (-1 e +1) si trovano fuori dall'intervallo dato e la funzione diventa $ f(z) = 1 / z - 1 / (z+1) $ e quindi
2) Considerato l'intervallo. Lo sviluppo mi viene $ 1 / z - sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^(n)(z)^(n) $. Tutto liscio diciamo, a parte il fatto che non ho ben capito che ci devo fare con l'intervallo dato.
d) $ e^{z} / z^2 $ Questo proprio mi ha fatto impazzire. Ho rifatto mille volte la scomposizione in fratti semplici e mi viene sempre: $ f(z) = 1/z + 1/z^2 $ che sembrano essere giusti perché nel risultato compaiono ma lo sviluppo sulle soluzioni risulta essere: $ 1/z^2 + 1/z + sum_(n = 0)^(+oo) z^n/(n!) $. Per quanto mi sia sforzato non riesco a capire bene ste serie di Laurent.
aiuto T_T
L'algoritmo non credo che esista.. non sono esercizi molto meccanici. Prova anche a utilizzare mclaurin o taylor... per esempio tu sai che la serie di McLaurin di $e^z$ è
$e^z = sum_(n=0)^(+oo)(z^n/(n!))$... che sostituita nel tuo ultimo esercizio (d), dovrebbe dare il risultato che ti attendi, a parte l'indice inferiore della tua serie che non mi convince molto
$e^z = sum_(n=0)^(+oo)(z^n/(n!))$... che sostituita nel tuo ultimo esercizio (d), dovrebbe dare il risultato che ti attendi, a parte l'indice inferiore della tua serie che non mi convince molto
Dunque, ho rincontrollato l'ultimo esercizio: il testo è quello che ho scritto e anche l'intervallo è giusto. Stessa cosa per il risultato che ho scritto. Per quanto riguarda le serie di mclaurin o taylor.. tengo le tavole sempre davanti... ma il dubbio atroce che ho su questo ultimo esercizio è appunto questo: se è vero che $ e^z$ = $ sum_(n = o)^(+oo)z^n/(n!) $, ma allora, scusate, non dovrebbe essere vero (secondo il risultato fornito) che $ 1/(z) + 1/(z^2)+ e^z = e^z/z^2 $ ? O sto dicendo un'eresia ? T_T
Che intendi per l'indice inferiore della mia serie non ti convince ? O_o
Che intendi per l'indice inferiore della mia serie non ti convince ? O_o
"Ubermaister":
$... f(z)=z/(z+1)$ l'ho scomposto in fratti semplici ottenendo $f(z)=-1/(z+1) ...$
Questa tua considerazione è semplicemente assurda. In ogni modo:
$f(z)=z/(z+1)$
1. Quando $0<=|z|<1$ si ha:
$f(z)=z/(z+1)=z*1/(1-(-z))=z*sum_(n=0)^(+oo)(-z)^n=sum_(n=0)^(+oo)(-1)^nz^(n+1)$
2. Quando $|z|>1$ si ha:
$f(z)=z/(z+1)=1/(1-(-1/z))=sum_(n=0)^(+oo)(-1/z)^n=sum_(n=0)^(+oo)(-1)^nz^(-n)$
In pratica, quando tratti le funzioni razionali fratte, devi sempre ricondurti alla serie geometrica:
$|q|<1 rarr 1/(1-q)=sum_(n=0)^(+oo)q^n$
Proprio guardando il dominio dello sviluppo, compatibile con la condizione $|q|<1$, puoi comprendere gli artifici necessari.
In ogni caso , si vuole scrivere $ f(z) $ sotto la forma $ \sum_{ m >= 1 } c_m \frac{ 1 }{z^m} + \sum_{n >= 0 } d_n z^n $
Qui , bisogna conoscere esempi di referenza :
$ sen(z) =sum_{k =0}^{+infty} (-1)^k \frac{ z^(2k+1)}{ (2k+1) ! } $ per $ z in\CC $
$ \frac{1}{1+z} =sum_{n =0}^{+infty} (-1)^n z^n $ per $ 0 <= |z| < 1 $
$ e^z =sum_{n =0}^{+infty} \frac{ z^n}{ n ! } $ per $ z in\CC $
Quindi ,
a) $ sen(\frac{1}{z} ) = sum_{k =0}^{+infty} \frac{ (-1)^k}{(2k+1)!} * frac{1}{ z^(2k+1)} $ per $ z != 0 $
b) $ \frac{z}{1+z} = z * sum_{n =0}^{+infty} (-1)^n z^n = sum_{n =0}^{+infty} (-1)^n z^(n+1) = sum_{n = 1}^{+infty} (-1)^(n-1) z^n $
per $ 0 <= |z| < 1 $
Qui , bisogna conoscere esempi di referenza :
$ sen(z) =sum_{k =0}^{+infty} (-1)^k \frac{ z^(2k+1)}{ (2k+1) ! } $ per $ z in\CC $
$ \frac{1}{1+z} =sum_{n =0}^{+infty} (-1)^n z^n $ per $ 0 <= |z| < 1 $
$ e^z =sum_{n =0}^{+infty} \frac{ z^n}{ n ! } $ per $ z in\CC $
Quindi ,
a) $ sen(\frac{1}{z} ) = sum_{k =0}^{+infty} \frac{ (-1)^k}{(2k+1)!} * frac{1}{ z^(2k+1)} $ per $ z != 0 $
b) $ \frac{z}{1+z} = z * sum_{n =0}^{+infty} (-1)^n z^n = sum_{n =0}^{+infty} (-1)^n z^(n+1) = sum_{n = 1}^{+infty} (-1)^(n-1) z^n $
per $ 0 <= |z| < 1 $
"Ubermaister":
$... f(z)=e^z/z^2$ Questo proprio mi ha fatto impazzire. Ho rifatto mille volte la scomposizione in fratti semplici ...
A questo punto, non si comprende che cosa tu intenda con scomposizione in fratti semplici. In generale, la scomposizione in fratti semplici si riferisce ad una funzione razionale fratta. In questo caso, al di là del fattore esponenziale, puoi considerare $[1/z^2]$ come funzione razionale fratta, che evidentemente non necessita di alcuna scomposizione. Quindi:
$|z|>0 rarr f(z)=e^z/z^2=1/z^2sum_(n=0)^(+oo)z^n/(n!)=sum_(n=0)^(+oo)z^(n-2)/(n!)=1/z^2+1/z+sum_(n=2)^(+oo)z^(n-2)/(n!)$
Come esercizio che possa chiarirti il procedimento generale da adottare con le funzioni razionali fratte, potresti determinare lo sviluppo della funzione $[f(z)=(z-1)/(z^2+z-6)]$ nei seguenti domini:
1. $0<=|z|<2$
2. $2<|z|<3$
3. $|z|>3$
4. $0<|z-2|<5$
5. $|z-2|>5$
6. $0<|z+3|<5$
7. $|z+3|>5$
Dopo la scomposizione in fratti semplici, dovresti riuscire a completarlo riducendoti ad un'opportuna serie geometrica.
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