Calcolare soluzioni reali di un'equazione irriducibile
Buongiorno a tutti e buona domenica 
.
devo svolgere questo esercizio (già svolto dal mio prof, ma che non ho capito): Si determini il numero di soluzioni reali distinte dell'equazione :$x^4+2x^3+6x^2-11x+1=0$
il mio professore ha cosi lavorato : $ f''(x)=12(x^2+x+1)>0 AA x in R $.
poi afferma che f è continua e si ha $ lim_(x -> oo ) f(x)=+oo $ , $ f(1)=-1<0 $
da cui segue che l'equazione $f(x)=0$ ha almeno due soluzioni.
Conclusione : $f(x)=0$ ha esattamente due soluzioni reali distinte.
ora vedendo per la prima volta questa tipologia di esercizi mi sorgono molti dubbi
.
Il primo dei tanti è perchè uso proprio la derivata e perchè mi fermo proprio alla derivata seconda e non prima o terza??( io ho pensato perchè con la derivata seconda posso avere due soluzioni tramite la formula risolutiva, ed invece con la prima ancora non ho soluzioni)
perchè devo fare $f(1)$?
Ultima domanda di norma con questi esercizi come faccio a capire a che derivata fermarmi e se applicare prorprio questo metodo con la derivata???
Grazie in anticipo per chi mi aiuterà
.devo svolgere questo esercizio (già svolto dal mio prof, ma che non ho capito): Si determini il numero di soluzioni reali distinte dell'equazione :$x^4+2x^3+6x^2-11x+1=0$
il mio professore ha cosi lavorato : $ f''(x)=12(x^2+x+1)>0 AA x in R $.
poi afferma che f è continua e si ha $ lim_(x -> oo ) f(x)=+oo $ , $ f(1)=-1<0 $
da cui segue che l'equazione $f(x)=0$ ha almeno due soluzioni.
Conclusione : $f(x)=0$ ha esattamente due soluzioni reali distinte.
ora vedendo per la prima volta questa tipologia di esercizi mi sorgono molti dubbi
.Il primo dei tanti è perchè uso proprio la derivata e perchè mi fermo proprio alla derivata seconda e non prima o terza??( io ho pensato perchè con la derivata seconda posso avere due soluzioni tramite la formula risolutiva, ed invece con la prima ancora non ho soluzioni)
perchè devo fare $f(1)$?
Ultima domanda di norma con questi esercizi come faccio a capire a che derivata fermarmi e se applicare prorprio questo metodo con la derivata???
Grazie in anticipo per chi mi aiuterà
Risposte
$ x^4+2x^3+6x^2-11x+1=0 $
Posto $f(x)=x^4+2x^3+6x^2-11x+1$ si va a verificare come è fatta la funzione, quindi servono i limiti a infinito e sicuramente la derivata prima $f'(x)=4x^3+6x^2+12x-11$ che è una funzione di terzo grado, quindi ha almeno uno zero reale, ma potrebbe averne 3. Tratto la derivata prima come se fosse anche lei una funzione $g(x)=4x^3+6x^2+12x-11$, la derivo
$g'(x)=12(x^2+x+1)>0 AA x in R $, questo mi garantisce che la derivata prima è sempre crescente, ma siccome è sempre continua e i suoi limiti agli infiniti sono uno $+oo$ e l'altro $-oo$, si deve annullare una volta, ma solo una.
La funzione $f(x)$ ha un minimo, ma uno solo. Se riesco a trovare un punto della funzione con ordinata negativa so che anche il minimo avrà certamente ordinata negativa e che la funzione intersecherà l'asse delle ascisse prima e dopo tale minimo. Trovato che in $1$ la funzione $f(1)= -1$ è negativa, ne posso dedurre che $f(x)$ si annulla due volte, in due soli punti distinti, uno prima di $-1$ e l'altro dopo.
Posto $f(x)=x^4+2x^3+6x^2-11x+1$ si va a verificare come è fatta la funzione, quindi servono i limiti a infinito e sicuramente la derivata prima $f'(x)=4x^3+6x^2+12x-11$ che è una funzione di terzo grado, quindi ha almeno uno zero reale, ma potrebbe averne 3. Tratto la derivata prima come se fosse anche lei una funzione $g(x)=4x^3+6x^2+12x-11$, la derivo
$g'(x)=12(x^2+x+1)>0 AA x in R $, questo mi garantisce che la derivata prima è sempre crescente, ma siccome è sempre continua e i suoi limiti agli infiniti sono uno $+oo$ e l'altro $-oo$, si deve annullare una volta, ma solo una.
La funzione $f(x)$ ha un minimo, ma uno solo. Se riesco a trovare un punto della funzione con ordinata negativa so che anche il minimo avrà certamente ordinata negativa e che la funzione intersecherà l'asse delle ascisse prima e dopo tale minimo. Trovato che in $1$ la funzione $f(1)= -1$ è negativa, ne posso dedurre che $f(x)$ si annulla due volte, in due soli punti distinti, uno prima di $-1$ e l'altro dopo.
Grazie gentilissima. Un'ultima cosa di norma in questi esercizi mi fermo alla prima derivata a che mo da soluzioni?
Ciao VALE0,
Non sono sicurissimo di aver capito la domanda, comunque come dovresti sapere è la derivata seconda che fornisce informazioni sulla concavità di una funzione: credo sia per questo che il tuo professore si è fermato a quella...
"VALE0":
[...] a che mo da soluzioni?
Non sono sicurissimo di aver capito la domanda, comunque come dovresti sapere è la derivata seconda che fornisce informazioni sulla concavità di una funzione: credo sia per questo che il tuo professore si è fermato a quella...
La mia domandare era riferita ad un'eqazione ad esempio di sesto grado, in tal caso come posso lavorarci se non posso scomporre o altro?
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