Calcolare residui nel caso di una singolarità essenziale
ho compreso come calcolare i residui nel caso di una singolarità eliminabile e in un polo ma nel caso di una singolarità essenziale come si trovano i residui?
sò che si deve applicare la serie di laurent ma in che modo?
grazie infinite
mi fate un esempio???!?!
W il nostro forum !!
sò che si deve applicare la serie di laurent ma in che modo?
grazie infinite
mi fate un esempio???!?!
W il nostro forum !!
Risposte
il residuo è per definizione il coefficiente di 1/(z-a)
nello sviluppo in serie di Laurent di una funzione attorno a z=a
QUINDI UN MODO PER CALCOLARE IL RESIDUO è QUELLO DI SVILUPPARE LA FUNZIONE IN SERIE DI LAURENT
consideriamo ad esempio la funzione
f(z)=e^(-1/z)
z=0 è una singolarità essenziale
in generale e^u=SUM[n=0 a +inf] u^n /n!
ponendo u=-1/z si ottiene lo sviluppo di Laurent attorno al punto z=0 (quindi a=0)
e^(-1/z)=1-1/z + 1/(2!z^2)-1/(3!z^3)+...
da cui si vede che il residuo in z=0 è il coefficiente di 1/z ed è uguale -1
nello sviluppo in serie di Laurent di una funzione attorno a z=a
QUINDI UN MODO PER CALCOLARE IL RESIDUO è QUELLO DI SVILUPPARE LA FUNZIONE IN SERIE DI LAURENT
consideriamo ad esempio la funzione
f(z)=e^(-1/z)
z=0 è una singolarità essenziale
in generale e^u=SUM[n=0 a +inf] u^n /n!
ponendo u=-1/z si ottiene lo sviluppo di Laurent attorno al punto z=0 (quindi a=0)
e^(-1/z)=1-1/z + 1/(2!z^2)-1/(3!z^3)+...
da cui si vede che il residuo in z=0 è il coefficiente di 1/z ed è uguale -1
Vediamo se ho capito
nel caso in cui ci sia sing.essenziale vado a fare la serie di laurent ed il residuo è il coefficiente di 1/(z-a)
a corrisponde al punto dove c'è singolarità?
se io ho (z-3)e^(1/z-3)
che ha singolarità essenziale in z=3 (a=3 ???)
vado a prendere il coefficiente di 1/(z-3) della sua serie di laurent
se questo coeff. manca il residuo è uguale a 0 ??
mi finisci l'esercizio con (z-3)e^(1/z-3)
grazie infinite
sei un grande !!!!!!
jim81
la funzione dovrebbe avere come serie sum (da 0 a +inf) 1/n! * 1/(z-3)^n
giusto??
nel caso in cui ci sia sing.essenziale vado a fare la serie di laurent ed il residuo è il coefficiente di 1/(z-a)
a corrisponde al punto dove c'è singolarità?
se io ho (z-3)e^(1/z-3)
che ha singolarità essenziale in z=3 (a=3 ???)
vado a prendere il coefficiente di 1/(z-3) della sua serie di laurent
se questo coeff. manca il residuo è uguale a 0 ??
mi finisci l'esercizio con (z-3)e^(1/z-3)
grazie infinite
sei un grande !!!!!!
jim81
la funzione dovrebbe avere come serie sum (da 0 a +inf) 1/n! * 1/(z-3)^n
giusto??
si a tutte le domande tranne l'ultima
indichiamo z-3=u e otteniamo
u * e^(1/u)=u *( 1 + 1/u + 1/(2!u^2) + 1/(3!u^3)+... =
=u + 1 + 1/(2!u) + 1/(3!u^2)+...
tornando a z si ottiene la serie
f(z)= (z-3) + 1 + 1/[2!(z-3)] + 1/[3!(z-3)^2]+...
il residuo è 1/2 (il coefficiente di 1/(z-3) )
salvo errori
indichiamo z-3=u e otteniamo
u * e^(1/u)=u *( 1 + 1/u + 1/(2!u^2) + 1/(3!u^3)+... =
=u + 1 + 1/(2!u) + 1/(3!u^2)+...
tornando a z si ottiene la serie
f(z)= (z-3) + 1 + 1/[2!(z-3)] + 1/[3!(z-3)^2]+...
il residuo è 1/2 (il coefficiente di 1/(z-3) )
salvo errori
grazie mi hai fatto capire !!
mi sono accorto questa mattina che la serie era sbagliata !!
grazie ancora !!
jim
mi sono accorto questa mattina che la serie era sbagliata !!
grazie ancora !!
jim
Un cordiale benvenuto a stenoo!... 
Purtroppo [e dico purtroppo...] la domanda da lui posta non compare qui per la prima volta e fornisce la più diretta testimonianza dei numerosi 'concetti errati' che vengono insegnati nelle nostre università...
Stenoo non ha da prendersela per questa mia 'rampogna' [per effetto della quale non vorrei proprio si sentisse 'scoraggiato' e per questo il suo fosse l'ultimo post in questo spazio...
] per il semplice motivo che la colpa di questo stato di cose non è sua...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Purtroppo [e dico purtroppo...] la domanda da lui posta non compare qui per la prima volta e fornisce la più diretta testimonianza dei numerosi 'concetti errati' che vengono insegnati nelle nostre università...
Stenoo non ha da prendersela per questa mia 'rampogna' [per effetto della quale non vorrei proprio si sentisse 'scoraggiato' e per questo il suo fosse l'ultimo post in questo spazio...
] per il semplice motivo che la colpa di questo stato di cose non è sua... cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Caro steno, se la singolarità fosse eliminabile la funzione sarebbe olomorfa, dunque in particolare sarebbe analitica la sua restrizione su $RR$, ma ciò come tu certamente saprai non è vero, è la funzione che si prende sempre ad esempio per mostrare l'esistenza di funzioni di classe $C^oo$ non analitiche.
Il limite che tu pretendi di aver verificato, ti sembra tale perché lo hai fatto lungo un'unica curva (presumibilmente proprio l'asse reale).
Ma in generale evidentemente non esiste, per dimostrarlo basta prendere il limite sull' asse immaginario, sostituisci a z una banale parametrizzazione $z=it$, la funzione diviene $e^[1/[t^2]]$ che ha limite infinito al tendere di x a 0.
Il limite che tu pretendi di aver verificato, ti sembra tale perché lo hai fatto lungo un'unica curva (presumibilmente proprio l'asse reale).
Ma in generale evidentemente non esiste, per dimostrarlo basta prendere il limite sull' asse immaginario, sostituisci a z una banale parametrizzazione $z=it$, la funzione diviene $e^[1/[t^2]]$ che ha limite infinito al tendere di x a 0.
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