Calcolare numero di zeri di una funzione al variare dei parametri
Salve,
devo svolgere il seguente esercizio:
$f(x) = x+2/sqrt(3)arctan(x^2/sqrt(3))$
al variare del parametro $\lambda in RR$, stabilire il numero di soluzioni dell'equazione $f(x) = \lambda$
Da quanto è spiegato sulle slide significa che si richiede di studiare landamento della funzione e di contare le intersezioni del grafico con una generica retta $y = \lambda$. Questo perchè, da quanto ho capito, $+ \lambda$ fa compiere una traslazione orizzontale al grafico della funzione, quindi in base al suo valore il grafico intersecherà più o meno volte l'asse delle x.
Per fare questo opero calcolando la derivata
$f'(x) = 1+(4x)/(x^4+3)$
A questo punto dovrei calcolare gli intervalli di stretta monotonia ponendo $f'(x) >= 0$ per poi capire al variare di $\lambda$ quante volte il grafico interseca la retta x, ma nel momento in cui vado a fare
$f'(x) = 1+(4x)/(x^4+3) >= 0$
non so più come operare perchè non so come scomporre questa disequazione.
devo svolgere il seguente esercizio:
$f(x) = x+2/sqrt(3)arctan(x^2/sqrt(3))$
al variare del parametro $\lambda in RR$, stabilire il numero di soluzioni dell'equazione $f(x) = \lambda$
Da quanto è spiegato sulle slide significa che si richiede di studiare landamento della funzione e di contare le intersezioni del grafico con una generica retta $y = \lambda$. Questo perchè, da quanto ho capito, $+ \lambda$ fa compiere una traslazione orizzontale al grafico della funzione, quindi in base al suo valore il grafico intersecherà più o meno volte l'asse delle x.
Per fare questo opero calcolando la derivata
$f'(x) = 1+(4x)/(x^4+3)$
A questo punto dovrei calcolare gli intervalli di stretta monotonia ponendo $f'(x) >= 0$ per poi capire al variare di $\lambda$ quante volte il grafico interseca la retta x, ma nel momento in cui vado a fare
$f'(x) = 1+(4x)/(x^4+3) >= 0$
non so più come operare perchè non so come scomporre questa disequazione.
Risposte
Ho risolto:
$1+(4x/(x^4+3)) = (x^4+4x+3)/(x^4+3)$
Opero sul numeratore:
$x^4+4x+3=$
$=x^4+3x+x+3=$
$=x(x^3+1)+3(x+1)=$
$=x(x+1)(x^2-x+1)+3(x+1)=$
$=(x+1)((x2-x+1)x+3)=$
$=(x+1)(x^3-x^2+x+3)=$
$=(x+1)(x+1)(x^2-2x+3) $ per ruffini
Quindi:
$((x+1)^2(x^2-2x+3))/(x^4+3) >= 0$ risulta $ f(x)= 0$ per $x=-1$ e $f(x) > 0 AA x in RR-{-1}$
Arrivato a questo punto ho fatto il seguente ragionamento:
dal momento che la derivata della funzione è sempre positiva tranne in f'(-1) dove è 0, la funzione sarà monotona strettamente crescente con punto di flesso in (-1,f(-1)).
Quindi, dal momento che la funzione risulta essere monotona strettamente crescente, indipendentemente da $\lambda$, il grafico intersecherà l'asse delle x sempre 1 sola volta.
SOLUZIONE: ci sarà sempre 1 sola soluzione $AA \lambda in R$
Per favore, ditemi se il mio ragionamento è corretto.
$1+(4x/(x^4+3)) = (x^4+4x+3)/(x^4+3)$
Opero sul numeratore:
$x^4+4x+3=$
$=x^4+3x+x+3=$
$=x(x^3+1)+3(x+1)=$
$=x(x+1)(x^2-x+1)+3(x+1)=$
$=(x+1)((x2-x+1)x+3)=$
$=(x+1)(x^3-x^2+x+3)=$
$=(x+1)(x+1)(x^2-2x+3) $ per ruffini
Quindi:
$((x+1)^2(x^2-2x+3))/(x^4+3) >= 0$ risulta $ f(x)= 0$ per $x=-1$ e $f(x) > 0 AA x in RR-{-1}$
Arrivato a questo punto ho fatto il seguente ragionamento:
dal momento che la derivata della funzione è sempre positiva tranne in f'(-1) dove è 0, la funzione sarà monotona strettamente crescente con punto di flesso in (-1,f(-1)).
Quindi, dal momento che la funzione risulta essere monotona strettamente crescente, indipendentemente da $\lambda$, il grafico intersecherà l'asse delle x sempre 1 sola volta.
SOLUZIONE: ci sarà sempre 1 sola soluzione $AA \lambda in R$
Per favore, ditemi se il mio ragionamento è corretto.
Ciao eccelsius,
Ti stavo rispondendo, poi ho visto che hai risolto...
La conclusione è corretta, anche se personalmente l'avrei vista più semplicemente come l'intersezione fra la funzione $y = f(x) $ e la retta orizzontale $y = \lambda $: con uno studio veloce di $f(x) $ si vede subito che qualsiasi retta orizzontale interseca la funzione $f(x) $ in un punto solo.
Ti stavo rispondendo, poi ho visto che hai risolto...
La conclusione è corretta, anche se personalmente l'avrei vista più semplicemente come l'intersezione fra la funzione $y = f(x) $ e la retta orizzontale $y = \lambda $: con uno studio veloce di $f(x) $ si vede subito che qualsiasi retta orizzontale interseca la funzione $f(x) $ in un punto solo.
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