Calcolare massimi e minimi vincolati con logaritmo
Ciao, avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:
Studiare massimi e minimi nell'insieme
$E={(x,y,)∣9x^2+4y^2≤1}$
della funzione:
$f(x,y)=(x^2+y^2-3)ln(x^2+y^2)$
spero che mi aiuterete.
grazie.
Studiare massimi e minimi nell'insieme
$E={(x,y,)∣9x^2+4y^2≤1}$
della funzione:
$f(x,y)=(x^2+y^2-3)ln(x^2+y^2)$
spero che mi aiuterete.
grazie.
Risposte
Da regolamento, dovresti prima fornire una tua idea....
Ciao,
possiamo considerare che l'insieme di studio della funzione non ha senso nel campo reale..
è giusta come considerazione.
Fammi sapere.
Grazie.
possiamo considerare che l'insieme di studio della funzione non ha senso nel campo reale..
è giusta come considerazione.
Fammi sapere.
Grazie.
"rsist":
Ciao,
possiamo considerare che l'insieme di studio della funzione non ha senso nel campo reale..
è giusta come considerazione.
Fammi sapere.
Grazie.
??????? Perché una ellisse non dovrebbe avere senso?
ciao
non ho ben capito lo sviluppo della discussione: rsit non è l'op. o sì? Nel caso ricordo che non si possono avere più identità.
Se invece rsist è un'altra persona interessa all'esercizio nessun problema.
Entro anche io chiedendo se c'è qualcosa che dobbiamo togliere a $RR^2$ affinchè la funzione non perda di significato.
Cosa mi dici rsist?
PS ciao Ciampax
non ho ben capito lo sviluppo della discussione: rsit non è l'op. o sì? Nel caso ricordo che non si possono avere più identità.
Se invece rsist è un'altra persona interessa all'esercizio nessun problema.
Entro anche io chiedendo se c'è qualcosa che dobbiamo togliere a $RR^2$ affinchè la funzione non perda di significato.
Cosa mi dici rsist?
PS ciao Ciampax
Ciao,
rsist è un mio compagno universitario di stanza.
scusate ma sto provando a fare l'esercizio ma non riesco a venirne a capo.
rsist è un mio compagno universitario di stanza.
scusate ma sto provando a fare l'esercizio ma non riesco a venirne a capo.
ciao alere
nè io nè ciampax faremo l'esercizio perchè sarebbe dannoso per te
ti consiglio il metodo feynman: cerca di spiegare con le parole più semplici possibili cosa pensi si debba fare, non temere di dire stupidaggini, nessuno ti giudicherà. Saremo in grado di aiutarti solo se riusciamo a capire da dove iniziare.
nè io nè ciampax faremo l'esercizio perchè sarebbe dannoso per te
ti consiglio il metodo feynman: cerca di spiegare con le parole più semplici possibili cosa pensi si debba fare, non temere di dire stupidaggini, nessuno ti giudicherà. Saremo in grado di aiutarti solo se riusciamo a capire da dove iniziare.
ciao a tutti,
allora vi dico cosa ho pensato.
esplicito una variabile nell'equazione relativa al vincolo e la sostituisco nella funzione f,
ottenendo così una nuova funzione, dalla quale calcolo gli estremanti.
è corretto come impostazione.
fatemi sapere.
grazie.
allora vi dico cosa ho pensato.
esplicito una variabile nell'equazione relativa al vincolo e la sostituisco nella funzione f,
ottenendo così una nuova funzione, dalla quale calcolo gli estremanti.
è corretto come impostazione.
fatemi sapere.
grazie.
Certo, quello va bene sul bordo, anche se esplicitare forse non è la cosa più veloce (io userei i moltiplicatori di Lagrange).
Dovresti però controllare anche quello che accade all'interno dell'ellisse, con il metodo classico di gradiente ed hessiano.
Dovresti però controllare anche quello che accade all'interno dell'ellisse, con il metodo classico di gradiente ed hessiano.
cioè cosa intendi con all'interno dell'ellisse??
cosa devo fare??
cosa devo fare??
Mi chiedo: ma un po' di teoria l'hai studiata? Lo sai che, quando si studiano gli estremi relativamente ad un dominio del piano si analizzano separatamente i punti interni e quelli sul bordo, attraverso vari metodi?
Se ti avesse chiesto di calcolare massimi e minimi in generale, cosa avresti fatto?
Se ti avesse chiesto di calcolare massimi e minimi in generale, cosa avresti fatto?
"alere":
Studiare massimi e minimi nell'insieme
$E={(x,y,)∣9x^2+4y^2≤1}$
il fatto che ci sia scritto $<=$ significa che non devi prendere in considerazione solo i punti del bordo dell'ellisse ma anche quelli interni
Per farti capire:
Circonferenza = solo i punti del bordo (es. $x^2+y^2=1$)
Cerchio = tutti i punti sia sul bordo sia dentro il bordo (es. $x^2+y^2<=1$)
tu sei nel secondo caso, il bordo invece di essere una circonferenza è una ellissi.
Anyway, non hai nulla da dire sul dominio della tua funzione?
quindi devo cercare i punti di estremo interni a E, ossia in:
int(E)$={ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}: 9x^2+4y^2<1}$
devo cercare tra i punti stazionari, ossia tra i punti $(x,y)\in$ int (E)
tali che
$∇ f(x,y)=0$
calcolando le derivate parziali, trovando i punti stazionari e la matrice hessiana.
è giusto??
int(E)$={ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}: 9x^2+4y^2<1}$
devo cercare tra i punti stazionari, ossia tra i punti $(x,y)\in$ int (E)
tali che
$∇ f(x,y)=0$
calcolando le derivate parziali, trovando i punti stazionari e la matrice hessiana.
è giusto??
sì
ciao,
facendo i calcoli mi trovo che:
$\frac{\delta f}{\deltax}=2x[ln(x^2+y^2)+\frac{x^2+y^2 -3}{x^2+y^2}]$
e
$\frac{\delta f}{\deltay}=2y[ln(x^2+y^2)+\frac{x^2+y^2 -3}{x^2+y^2}]$
ponendo a sistema ottengo che i punti di annullamento sono:
$\{(x=0),(y=0):}$
che non appartiene al dominio di esistenza
$\{(x=0),(ln+y^2+\frac{y^2 -3}{y^2}=0):}$
e
$\{(y=0),(ln+x^2+\frac{x^2 -3}{y^2}=0):}$
in entrambi i casi ottengo la matrice hessiana uguale a zero.
come devo proseguire.
se mi potete aiutare.
grazie.
facendo i calcoli mi trovo che:
$\frac{\delta f}{\deltax}=2x[ln(x^2+y^2)+\frac{x^2+y^2 -3}{x^2+y^2}]$
e
$\frac{\delta f}{\deltay}=2y[ln(x^2+y^2)+\frac{x^2+y^2 -3}{x^2+y^2}]$
ponendo a sistema ottengo che i punti di annullamento sono:
$\{(x=0),(y=0):}$
che non appartiene al dominio di esistenza
$\{(x=0),(ln+y^2+\frac{y^2 -3}{y^2}=0):}$
e
$\{(y=0),(ln+x^2+\frac{x^2 -3}{y^2}=0):}$
in entrambi i casi ottengo la matrice hessiana uguale a zero.
come devo proseguire.
se mi potete aiutare.
grazie.
Le due derivate prime possono essere scritte come
$$f_x(x,y)=2x g(x,y),\quad f_y(x,y)=2y g(x,y),\qquad g(x,y)=\ln(x^2+y^2)+\frac{x^2+y^2-3}{x^2+y^2}$$
Per l'Hessiana si trova
$$f_{xx}(x,y)=2g(x,y)+2x g_x(x,y),\qquad f_{xy}=2x g_y(x,y))=2y g_x(x,y),\\ f_{yy}(x,y)=2g(x,y)+2y g_y(x,y))$$
Nei punti del tipo $(0,y)$ con $y$ tale che $g(0,y)=0$ (quelli del primo sistema che hai scritto), si ha
$$f_{xx}(0,y)=0,\qquad f_{xy}(0,y)=0,\\ f_{yy}(0,y)=2y g_y(0,y))$$
e pertanto l'hessiano è nullo (analogamente negli altri punti).
Ciò implica che non puoi determinare in questo modo il comportamento. Osserva tuttavia che se sostituisci tali punti nella funzione originale si ha
$$F(y)=f(0,y)=(y^2-3)\ln(y^2)=-\frac{(y^2-3)^2}{y^2}$$
(perché il logaritmo è uguale all'opposto della frazione su tali punti). Dalla derivata prima segue
$$F'(y)=-\frac{2(y^2-3)\cdot 2y\cdot y^2-2y\cdot(y^2-3)^2}{y^4}=-\frac{2y(y^2-3)[2y^2-y^2+3]}{y^4}=-\frac{2(y^2-3)(y^2+3)}{y^3}$$
Ragionando su questa derivata puoi vedere che la funzione $F$ presenta un massimo in $-\sqrt{3}$ e un minimo in $\sqrt{3}$. Osserva però che se $x=0$ i punti accettabili di $E$ devono soddisfare la condizione che $4y^2\le 1$, pertanto i punti precedenti non sono contemplati in $E$ e vanno scartati. Un ragionamento analogo vale con gli altri punti. Pertanto puoi concludere che non vi sono massimi e minimi all'interno, ma solo sul bordo.
Per lavorare con questa funzione, però, credo sia più intelligente pensare in modo diverso. Osserva che l'argomento del logaritmo $x^2+y^2$ assume lo stesso valore ogni volta che ti trovi su una circonferenza di centro l'origine e raggio $R$, cioè su $C_R=\{(x,y)\ | x^2+y^2=R^2\}$. Anche il termine moltiplicato prima del logaritmo ha la stessa proprietà, per cui possiamo concludere che la funzione da studiare è RADIALE, cioè cambia il valore solo al cambiare del raggio delle circonferenze considerate. Se allora passi a coordinate polari $x=R\cos t,\ y=R\sin t$ puoi considerare la funzione
$$F(R)=(R^2-3)\ln(R^2)$$
Il dominio di tale funzione è $D=(0,+\infty)$ e si ha
$$\lim_{R\to 0^+} F(R)=+\infty,\qquad \lim_{R\to +\infty} F(R)=+\infty$$
Inoltre il segno della funzione risulta positivo su $(0,1)\cup(\sqrt{3},+\infty)$ e negativo su $(1,\sqrt{3})$.
La derivata di tale funzione è
$$F'(R)=2R\ln(R^2)+(R^2-3)\cdot\frac{2}{R}=4R\ln(R)+\frac{2(R^2-3)}{R}$$
che risulta positiva quando (facendo un po' di calcoli e ricordando che $R>0$ per definizione e per dominio)
$$2\ln(R)+1>\frac{3}{2R^2}$$
Questa disequazione non è facile da risolvere analiticamente, ma mettendo in relazione il grafico di una funzione logaritmica con quello di una iperbole quadratica, porta a concludere che tali curve avranno un solo punto di intersezione $\alpha$ e pertanto la funzione crescerà da un lato di $alpha$ e decrescerà dall'altro. Per quanto detto prima, è probabile che essa decresca su $(0,\alpha)$ e cresca su $(\alpha,+\infty)$. Osservando che per $R=1$ si ha $F'(1)=-1/4<0$ e per $R=\sqrt{3}$ si ha $F(\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ln(\sqrt{3})>0$ ne deduciamo che $\alpha\in(1,\sqrt{3})$ e che rappresenta un minimo per la funzione.
Pertanto, man mano che ci allontaniamo dall'origine, la nostra funzione decresce sulle circonferenze fino a quella di raggio $\alpha$, per poi crescere. Cosa succede allora sul bordo di $E$? Basta andare ad intersecare la generica circonferenza con il bordo per capire se i punti sono tali da presentare massimi o minimi. Risolvendo il sistema
$$x^2+y^2=R^2,\qquad 9x^2+4y^2=1$$
si ricava
$$5x^2+4R^2=1\ \Rightarrow\ x^2=\frac{1-4R^2}{5}$$
Affinché vi sia intersezione, $1-4R^2\ge 0$ e quindi $01/3$, e quindi le circonferenze utili sono quelle per cui $1/3< R<1/2$. Dal momento che per $R<1$ la funzione $F(R)$ decresce, il valore massimo si ha per $R=1/3$ e il minimo per $R=1/2$. Pertanto si hanno i punti di massimo su $E$
$$\left(\pm\frac{1}{3},0\right)\qquad F(1/3)=\frac{16}{3}\ln(3)$$
e i punti di minimo
$$\left(0,\pm\frac{1}{2}\right)\qquad F(1/2)=\frac{22}{4}\ln(2)$$
$$f_x(x,y)=2x g(x,y),\quad f_y(x,y)=2y g(x,y),\qquad g(x,y)=\ln(x^2+y^2)+\frac{x^2+y^2-3}{x^2+y^2}$$
Per l'Hessiana si trova
$$f_{xx}(x,y)=2g(x,y)+2x g_x(x,y),\qquad f_{xy}=2x g_y(x,y))=2y g_x(x,y),\\ f_{yy}(x,y)=2g(x,y)+2y g_y(x,y))$$
Nei punti del tipo $(0,y)$ con $y$ tale che $g(0,y)=0$ (quelli del primo sistema che hai scritto), si ha
$$f_{xx}(0,y)=0,\qquad f_{xy}(0,y)=0,\\ f_{yy}(0,y)=2y g_y(0,y))$$
e pertanto l'hessiano è nullo (analogamente negli altri punti).
Ciò implica che non puoi determinare in questo modo il comportamento. Osserva tuttavia che se sostituisci tali punti nella funzione originale si ha
$$F(y)=f(0,y)=(y^2-3)\ln(y^2)=-\frac{(y^2-3)^2}{y^2}$$
(perché il logaritmo è uguale all'opposto della frazione su tali punti). Dalla derivata prima segue
$$F'(y)=-\frac{2(y^2-3)\cdot 2y\cdot y^2-2y\cdot(y^2-3)^2}{y^4}=-\frac{2y(y^2-3)[2y^2-y^2+3]}{y^4}=-\frac{2(y^2-3)(y^2+3)}{y^3}$$
Ragionando su questa derivata puoi vedere che la funzione $F$ presenta un massimo in $-\sqrt{3}$ e un minimo in $\sqrt{3}$. Osserva però che se $x=0$ i punti accettabili di $E$ devono soddisfare la condizione che $4y^2\le 1$, pertanto i punti precedenti non sono contemplati in $E$ e vanno scartati. Un ragionamento analogo vale con gli altri punti. Pertanto puoi concludere che non vi sono massimi e minimi all'interno, ma solo sul bordo.
Per lavorare con questa funzione, però, credo sia più intelligente pensare in modo diverso. Osserva che l'argomento del logaritmo $x^2+y^2$ assume lo stesso valore ogni volta che ti trovi su una circonferenza di centro l'origine e raggio $R$, cioè su $C_R=\{(x,y)\ | x^2+y^2=R^2\}$. Anche il termine moltiplicato prima del logaritmo ha la stessa proprietà, per cui possiamo concludere che la funzione da studiare è RADIALE, cioè cambia il valore solo al cambiare del raggio delle circonferenze considerate. Se allora passi a coordinate polari $x=R\cos t,\ y=R\sin t$ puoi considerare la funzione
$$F(R)=(R^2-3)\ln(R^2)$$
Il dominio di tale funzione è $D=(0,+\infty)$ e si ha
$$\lim_{R\to 0^+} F(R)=+\infty,\qquad \lim_{R\to +\infty} F(R)=+\infty$$
Inoltre il segno della funzione risulta positivo su $(0,1)\cup(\sqrt{3},+\infty)$ e negativo su $(1,\sqrt{3})$.
La derivata di tale funzione è
$$F'(R)=2R\ln(R^2)+(R^2-3)\cdot\frac{2}{R}=4R\ln(R)+\frac{2(R^2-3)}{R}$$
che risulta positiva quando (facendo un po' di calcoli e ricordando che $R>0$ per definizione e per dominio)
$$2\ln(R)+1>\frac{3}{2R^2}$$
Questa disequazione non è facile da risolvere analiticamente, ma mettendo in relazione il grafico di una funzione logaritmica con quello di una iperbole quadratica, porta a concludere che tali curve avranno un solo punto di intersezione $\alpha$ e pertanto la funzione crescerà da un lato di $alpha$ e decrescerà dall'altro. Per quanto detto prima, è probabile che essa decresca su $(0,\alpha)$ e cresca su $(\alpha,+\infty)$. Osservando che per $R=1$ si ha $F'(1)=-1/4<0$ e per $R=\sqrt{3}$ si ha $F(\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ln(\sqrt{3})>0$ ne deduciamo che $\alpha\in(1,\sqrt{3})$ e che rappresenta un minimo per la funzione.
Pertanto, man mano che ci allontaniamo dall'origine, la nostra funzione decresce sulle circonferenze fino a quella di raggio $\alpha$, per poi crescere. Cosa succede allora sul bordo di $E$? Basta andare ad intersecare la generica circonferenza con il bordo per capire se i punti sono tali da presentare massimi o minimi. Risolvendo il sistema
$$x^2+y^2=R^2,\qquad 9x^2+4y^2=1$$
si ricava
$$5x^2+4R^2=1\ \Rightarrow\ x^2=\frac{1-4R^2}{5}$$
Affinché vi sia intersezione, $1-4R^2\ge 0$ e quindi $0
$$\left(\pm\frac{1}{3},0\right)\qquad F(1/3)=\frac{16}{3}\ln(3)$$
e i punti di minimo
$$\left(0,\pm\frac{1}{2}\right)\qquad F(1/2)=\frac{22}{4}\ln(2)$$
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