Calcolare lunghezza arco di cicloide
dunque ho le due equazioni parametriche :
$ { ( x=2(t-sint) ),( y=2(1-cost) ):} $
Con $ tin[0,2pi] $
Ora io conosco la formula :
$ l(gamma)=int_(0)^(2pi) || gamma'(t)||dt = int_(0)^(2pi) sqrt[(2-2cost)^2 +2^2sen^2t] =int_(0)^(2pi)sqrt(8-8cost)dt $
Io ho svolto quest'integrale usando la sostituzione :
$ a=tg(x/2) $
e trovo come primitiva :
$ -8/(1+a^2)^(1/2) $
che calcolata sull'intervallo 2pi , 0
mi da 0.
Ora io sono sicuro che sto facendo un errore concettuale terribile , perché l'integrale dovrebbe venire 16 , vuol dire che non considero qualcosa che ora mi sfugge...penso sia dovuto all'intervallo , o alla parità della funzione...boh.
Help me!
$ { ( x=2(t-sint) ),( y=2(1-cost) ):} $
Con $ tin[0,2pi] $
Ora io conosco la formula :
$ l(gamma)=int_(0)^(2pi) || gamma'(t)||dt = int_(0)^(2pi) sqrt[(2-2cost)^2 +2^2sen^2t] =int_(0)^(2pi)sqrt(8-8cost)dt $
Io ho svolto quest'integrale usando la sostituzione :
$ a=tg(x/2) $
e trovo come primitiva :
$ -8/(1+a^2)^(1/2) $
che calcolata sull'intervallo 2pi , 0
mi da 0.
Ora io sono sicuro che sto facendo un errore concettuale terribile , perché l'integrale dovrebbe venire 16 , vuol dire che non considero qualcosa che ora mi sfugge...penso sia dovuto all'intervallo , o alla parità della funzione...boh.
Help me!
Risposte
Hai applicato una sostituzione per calcolare un integrale, ma ti sei ricordato di cambiare gli estremi di integrazione?
ah noo affatto..non li ho cambiati .
Come dovrei farlo?
Come dovrei farlo?
Se non ti ricordi come si fa basta aprire il libro di Analisi 1
@algo
io direi che hai sbagliato proprio a trovare la primitiva perchè non hai tenuto conto del fatto che $a$ cambia segno (e in $pi$ non esiste nemmeno) nell'intervallo di integrazione
per non avere problemi conviene agire in $[0,pi]$
l'integrale in questo intervallo è la metà di quello da calcolare nell'intervallo di partenza: l'integrando è simmetrico rispetto alla retta $x=pi$
tieni conto del fatto che a $t=0$ corrisponde $a=0$ e a $t=pi$ corrisponde $a=+infty$ (lo so non è rigoroso scrivere così,ma rende l'idea
)
se invece ti fossi messo direttamente in $[0,2pi]$ anche con il cambio degli estremi di integrazione l'integrale ti sarebbe venuto zero perchè a $t=2pi$ corrisponde $a=0$
io direi che hai sbagliato proprio a trovare la primitiva perchè non hai tenuto conto del fatto che $a$ cambia segno (e in $pi$ non esiste nemmeno) nell'intervallo di integrazione
per non avere problemi conviene agire in $[0,pi]$
l'integrale in questo intervallo è la metà di quello da calcolare nell'intervallo di partenza: l'integrando è simmetrico rispetto alla retta $x=pi$
tieni conto del fatto che a $t=0$ corrisponde $a=0$ e a $t=pi$ corrisponde $a=+infty$ (lo so non è rigoroso scrivere così,ma rende l'idea
)se invece ti fossi messo direttamente in $[0,2pi]$ anche con il cambio degli estremi di integrazione l'integrale ti sarebbe venuto zero perchè a $t=2pi$ corrisponde $a=0$
ok forse ho capito , posto i passaggi così mi dici...
usando :
$ t=tg(x/2) ;cosx=(1-t^2)/(1+t^2); x=2arctg(t) ;dx=2/(1+t^2)dt $
$ int_(0)^(2pi) sqrt(8-8cosx) dx= sqrt8int_0^(2pi)sqrt(1-cosx)dx= sqrt8int_0^(2pi)sqrt[1-(1-t^2)/(1+t^2)]*2/(1+t^2)dt $
$ sqrt8int_0^(2pi)sqrt[1-(1-t^2)/(1+t^2)]*2/(1+t^2)dt = sqrt8int_0^(2pi) sqrt[2t^2/(1+t^2)]*2/(1+t^2)=sqrt8*sqrt8int_0^(2pi)|t|/(1+t^2)^(3/2)dt $
Ed ora che ho il modulo , dovrei fare le considerazioni che dici tu giusto?
cioè , sbaglio proprio a fare l'integrale , o prima ho sbagliato perché arrivato qua ho lasciato perdere il modulo e continuato come se niente fosse...? in tal caso avrei da vedere dove
$ tg(x/2)>0 $
$ tg(x/2)>0 ; 0<=x<=pi/4; pi/2<=x<=3/4pi $
e arrivato fin qua? ...mi sto confondendo parecchio
usando :
$ t=tg(x/2) ;cosx=(1-t^2)/(1+t^2); x=2arctg(t) ;dx=2/(1+t^2)dt $
$ int_(0)^(2pi) sqrt(8-8cosx) dx= sqrt8int_0^(2pi)sqrt(1-cosx)dx= sqrt8int_0^(2pi)sqrt[1-(1-t^2)/(1+t^2)]*2/(1+t^2)dt $
$ sqrt8int_0^(2pi)sqrt[1-(1-t^2)/(1+t^2)]*2/(1+t^2)dt = sqrt8int_0^(2pi) sqrt[2t^2/(1+t^2)]*2/(1+t^2)=sqrt8*sqrt8int_0^(2pi)|t|/(1+t^2)^(3/2)dt $
Ed ora che ho il modulo , dovrei fare le considerazioni che dici tu giusto?
cioè , sbaglio proprio a fare l'integrale , o prima ho sbagliato perché arrivato qua ho lasciato perdere il modulo e continuato come se niente fosse...? in tal caso avrei da vedere dove
$ tg(x/2)>0 $
$ tg(x/2)>0 ; 0<=x<=pi/4; pi/2<=x<=3/4pi $
e arrivato fin qua? ...mi sto confondendo parecchio
come ti dicevo ,hai sbagliato a non valutare che hai $|t|$ e non $t$
ripeto,per non complicarsi la vita conviene fare l'integrale fra $0$ e $pi$ e poi moltiplicare per 2
in questo modo puoi mettere al numeratore senza problemi $t$
poi quando fai la sostituzione al posto di $x=0$ metti $t=0$ e al posto di $x=pi$ metti $+infty$
ripeto,per non complicarsi la vita conviene fare l'integrale fra $0$ e $pi$ e poi moltiplicare per 2
in questo modo puoi mettere al numeratore senza problemi $t$
poi quando fai la sostituzione al posto di $x=0$ metti $t=0$ e al posto di $x=pi$ metti $+infty$
in pratica arrivi all'integrale improprio convergente $ int_(0)^(+infty) 8t(1+t^2)^(-3/2) dt $
esatto infatti mi viene 16...quindi aspetta
ricapitolando...a priori come me ne sarei potuto accorgere? di questa simmetria rispetto a pigreco?
e comunque ho tolto il modulo perché per angoli compresi tra 0 e pigreco
tang(x/2) è positiva vero? (fino a pi/2 ove vale infinito)
ricapitolando...a priori come me ne sarei potuto accorgere? di questa simmetria rispetto a pigreco?
e comunque ho tolto il modulo perché per angoli compresi tra 0 e pigreco
tang(x/2) è positiva vero? (fino a pi/2 ove vale infinito)
"Algo":
a priori come me ne sarei potuto accorgere? di questa simmetria rispetto a pigreco?
osservando che $cos(pi+z)=cos(pi-z)$
"Algo":
e comunque ho tolto il modulo perché per angoli compresi tra 0 e pigreco
tang(x/2) è positiva vero? (fino a pi/2 ove vale infinito)
esatto
ti ringrazio xD
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