Calcolare l'integrale doppio su D
ciao a tutti!
Sto facendo questo integrale doppio e pur ammettendo che sia facile arrivo ad un punto che non sono più in grado di svoglerlo. Mi dareste una mano? grazie in anticipo
Si calcoli \(\iint_{D} \frac{x^2}{1+4x^2+9y^2} \ dx\ dy\) dove \(D \ = \ \left \{ (x,y) \in \mathbb{R^2} \ . \ 4x^2+9y^2 \le \; 1 \right \}\)
allora, penso che siamo tutti d'accordo nel dire che D è un ellisse, quindi l'ho parametrizzato così:
\(\begin{cases} x=\sqrt{2} \ \rho \ cos \ \theta \\ y= \sqrt{3} \ \rho \ sin \ \theta \end{cases}\) con \( 0 \le \;\theta \le \;2\pi \) e \(0 \le \;\rho \le \;1\)
il determinate dello Jacobiano è \(\sqrt{6} \ \rho\) quindi l'integrate risulta:
\(\int^{1}_{0}\int^{2\pi}_{0} \frac{2\sqrt{6} \ \rho^3 \ cos^2 \theta}{1+8 \ \rho^2 \ cos^2 \ \theta +27\rho^2 \ sin^2 \ \theta} \ d\theta \ d\rho\)
ecco qui ho provato diverse volte trasformando coseni o seni ma non sono arrivato ad una conclusione.
grazie ancora
Sto facendo questo integrale doppio e pur ammettendo che sia facile arrivo ad un punto che non sono più in grado di svoglerlo. Mi dareste una mano? grazie in anticipo
Si calcoli \(\iint_{D} \frac{x^2}{1+4x^2+9y^2} \ dx\ dy\) dove \(D \ = \ \left \{ (x,y) \in \mathbb{R^2} \ . \ 4x^2+9y^2 \le \; 1 \right \}\)
allora, penso che siamo tutti d'accordo nel dire che D è un ellisse, quindi l'ho parametrizzato così:
\(\begin{cases} x=\sqrt{2} \ \rho \ cos \ \theta \\ y= \sqrt{3} \ \rho \ sin \ \theta \end{cases}\) con \( 0 \le \;\theta \le \;2\pi \) e \(0 \le \;\rho \le \;1\)
il determinate dello Jacobiano è \(\sqrt{6} \ \rho\) quindi l'integrate risulta:
\(\int^{1}_{0}\int^{2\pi}_{0} \frac{2\sqrt{6} \ \rho^3 \ cos^2 \theta}{1+8 \ \rho^2 \ cos^2 \ \theta +27\rho^2 \ sin^2 \ \theta} \ d\theta \ d\rho\)
ecco qui ho provato diverse volte trasformando coseni o seni ma non sono arrivato ad una conclusione.
grazie ancora
Risposte
hai sbagliato i coefficienti quando parametrizzi l'ellisse
**** che mongolo che sono........
allora posto la correzione!
\(\overrightarrow{r}(\rho, \theta)=\begin{cases} x=\frac{1}{2} \rho \ cos\theta \\ y=\frac{1}{3}\rho \ sin\theta
\end{cases} \) con \( 0\le \theta\le 2\pi \) e \( 0\le\rho\le 1 \)
\(\int_0^1 \ \int _0^{2\pi} \frac{1}{6}\rho \cdot \frac{\frac{1}{4}\rho^2 co^2 \theta}{1+\rho^2con^2\theta+\rho^2sin^2\theta} d\theta \ d\rho \)
ok e dopo pochi calcoli a me viene = \(\frac{\pi}{24} \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{2}log2 \right ) \)
allora posto la correzione!
\(\overrightarrow{r}(\rho, \theta)=\begin{cases} x=\frac{1}{2} \rho \ cos\theta \\ y=\frac{1}{3}\rho \ sin\theta
\end{cases} \) con \( 0\le \theta\le 2\pi \) e \( 0\le\rho\le 1 \)
\(\int_0^1 \ \int _0^{2\pi} \frac{1}{6}\rho \cdot \frac{\frac{1}{4}\rho^2 co^2 \theta}{1+\rho^2con^2\theta+\rho^2sin^2\theta} d\theta \ d\rho \)
ok e dopo pochi calcoli a me viene = \(\frac{\pi}{24} \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{2}log2 \right ) \)
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