Calcolare l'integrale doppio
Buonasera, ho "qualche" difficolta' con la risoluzione di tale integrale doppio:
$D={(x,y)inR^2; 2<=y, x^2+(y-2)^2<=4}
$intint(x+1)(y-2)^2dxdy
Risolvendolo col metodo tradizionale (provato sia rispetto a y che a x) ci si blocca dopo la prima integrazione.
Ho ottenuto qualche timido risultato applicando la trasformazione (non so se sia corretto farlo):
$y->Y+2
$x->X
per fare in modo che la circonferenza abbia centro nell'origine e avere meno problemi nella risoluzione.
Esiste un metodo alternativo piu' semplice per calcolarlo?
Il risultato finale ottenuto e': $2pi
Ringrazio come al solito per la disponibilita'.
Saluti, Piero
$D={(x,y)inR^2; 2<=y, x^2+(y-2)^2<=4}
$intint(x+1)(y-2)^2dxdy
Risolvendolo col metodo tradizionale (provato sia rispetto a y che a x) ci si blocca dopo la prima integrazione.
Ho ottenuto qualche timido risultato applicando la trasformazione (non so se sia corretto farlo):
$y->Y+2
$x->X
per fare in modo che la circonferenza abbia centro nell'origine e avere meno problemi nella risoluzione.
Esiste un metodo alternativo piu' semplice per calcolarlo?
Il risultato finale ottenuto e': $2pi
Ringrazio come al solito per la disponibilita'.

Saluti, Piero
Risposte
Ti conviene passare in coordinate polari
$\{(x = \rho \cos(\theta)),(y - 2 = \rho \sin(\theta)):}$
con $0 \le \rho \le 2$ e $0 \le \theta \le \pi$ (queste nuove limitazioni si ottengono facilmente a partire dai vincoli del dominio di integrazione).
$\{(x = \rho \cos(\theta)),(y - 2 = \rho \sin(\theta)):}$
con $0 \le \rho \le 2$ e $0 \le \theta \le \pi$ (queste nuove limitazioni si ottengono facilmente a partire dai vincoli del dominio di integrazione).
"Tipper":
Ti conviene passare in coordinate polari
$\{(x = \rho \cos(\theta)),(y - 2 = \rho \sin(\theta)):}$
con $0 \le \rho \le 2$ e $0 \le \theta \le \pi$ (queste nuove limitazioni si ottengono facilmente a partire dai vincoli del dominio di integrazione).
Innanzitutto, ti ringrazio.
Domanda: come trovo le nuove limitazioni?
Per $rho=0$ e $rho=2$ nessun problema: sostituisco le coordinate polari nelle 2 equazioni del dominio e le calcolo.
Come faccio per $theta$? Non ricordo piu

Posso anche definire il nuovo dominio a "occhio" (visto che si vede che va da $0$ e $pi$)?
Saluti, Piero