Calcolare l'insieme di derivabilità

[leonarth]

ragazzi scusate,
ma come si calcola l'insieme di derivabilità di una funzione??

Se l'esercizio chiede di verificare che la funzione sia derivabile in un punto ben preciso allora bisogna fare il limite per x che tende a quel punto da destra e da sinistra della derivata prima in quel punto, e se i due limiti coincidono allora è derivabile..

ma se chiede appunto studiare l'isieme di derivabilità di f(x)?? come dovrei procedere?? Per caso coincide con il dominio della derivata?

help me

[walter891]

si io direi che coincide col dominio della derivata che potrebbe essere diverso da quello della funzione

[leonarth]

diresti o sei sicuro ? =D

[dissonance]

Questo è un problema che ciclicamente ricorre sul forum. Usando la funzione "Cerca" potrai trovare molto materiale - anche troppo, e purtroppo in ordine sparso. In generale negli esercizi si ha a che fare con funzioni $f(x)$ ottenute combinando alcune funzioni elementari (esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche...), che sono tutte infinitamente derivabili ove definite. Queste combinazioni (somme, prodotti, quozienti) tipicamente conservano la derivabilità tranne in certi casi: esempio - quando un denominatore si annulla, o si annulla l'argomento di una radice quadrata, o nei punti di raccordo, qualora la funzione sia definita a tratti. In questi punti occorre condurre una analisi locale.

Questa analisi locale può essere condotta in (almeno) due modi.

[*:yhqpmreu]Il primo, diretto, consiste nello scrivere il rapporto incrementale: se $x$ è il punto in esame, esso è

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, dove $h$ varia in un intorno di $0$ (eventualmente un intorno destro o sinistro);

a questo punto si studia il limite della precedente espressione per $h\to 0$ e se questo esiste finito allora $x$ è un punto di derivabilità (quindi automaticamente anche di continuità). Se invece il limite non esiste, o è infinito, allora sicuramente il punto non è di derivabilità. [/*:m:yhqpmreu]
[*:yhqpmreu]Il secondo passa dall'uso di un teorema che io di solito chiamo di Darboux (ma la notazione non è universale): se $f$ è continua in $x$ e derivabile in un intorno "bucato" di $x$ (intendo un insieme del tipo $(x-\delta, x + \delta) \setminus \{x\}$, proprio come se avesse un buchino), e se $f'$ si può prolungare per continuità in $x$, allora $x$ è un punto di derivabilità.[/*:m:yhqpmreu][/list:u:yhqpmreu]
Le due tecniche sono molto simili all'atto pratico, ma in realtà a livello teorico presentano delle differenze. In linea di massima la prima funziona sempre, la seconda potrebbe non fornire informazioni: se $f'$ non si può prolungare per continuità in $x$, non è comunque detto che $x$ non sia un punto di derivabilità, occorre usare il primo metodo per sincerarsene. Per questo io consiglio - per chi è alle prime armi - di usare direttamente il primo metodo.