Calcolare l'area di una curva
Buongiorno a tutti, ho un problema urgente con questo esercizio.
Sia A la regione racchiusa dalla cura gamma(t)= (sen3t*sent, sen3t*cost) con t appartenente [0, 2pigreco] Calcolare l'area.
Premesso che il mio prof non ha mai spiegato queste cose e sto facendo molta difficoltà a capire come svolgere gli esercizi.
Io sono riuscito a determinare che questa cura è chiusa e non semplice,essendo non semplice in teoria non potrei usare il teorema del rotore, ma guardando su Wolfram la rappresentazione paramentrica della curva mi sono accorto che è costituita da 3 petali simmetrici, quindi in teoria potrei applicare il teorema del rotore ad un "petalo" e poi moltiplicare per 3 il risultato ottenendo così l'area della figura?
Nel caso la mia ipotesi sia corretta, qualcuno potrebbe farmi vedere con i conti come si utilizza questo benedetto teorema del rotore per calcolare l'area di questa curva?
grazie 1000 a tutti
Sia A la regione racchiusa dalla cura gamma(t)= (sen3t*sent, sen3t*cost) con t appartenente [0, 2pigreco] Calcolare l'area.
Premesso che il mio prof non ha mai spiegato queste cose e sto facendo molta difficoltà a capire come svolgere gli esercizi.
Io sono riuscito a determinare che questa cura è chiusa e non semplice,essendo non semplice in teoria non potrei usare il teorema del rotore, ma guardando su Wolfram la rappresentazione paramentrica della curva mi sono accorto che è costituita da 3 petali simmetrici, quindi in teoria potrei applicare il teorema del rotore ad un "petalo" e poi moltiplicare per 3 il risultato ottenendo così l'area della figura?
Nel caso la mia ipotesi sia corretta, qualcuno potrebbe farmi vedere con i conti come si utilizza questo benedetto teorema del rotore per calcolare l'area di questa curva?
grazie 1000 a tutti
Risposte
Buongiorno, per calcolare l'area della regione racchiusa da una curva, non deve usare il Teorema del rotore, piuttosto le formule di Gauss-Green, in questo caso:
$$m(D)=\frac{1}{2}\int_{\delta D^+}{x dy - y dx}$$
che si può riscrivere per una curva parametrica come:
$$m(D)=\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1} x(t)y'(t) - y(t)x'(t) dt$$
che nel suo caso corrisponde a:
$$m(D)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}x(t)y'(t) - y(t)x'(t) dt$$
dove $x(t)$ e $y(t)$ sono le componenti $x$ e $y$ della curva, mente $x'(t)$ e $y'(t)$ sono le derivate rispetto a $t$ delle componenti $x$ e $y$ della curva.
$$m(D)=\frac{1}{2}\int_{\delta D^+}{x dy - y dx}$$
che si può riscrivere per una curva parametrica come:
$$m(D)=\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1} x(t)y'(t) - y(t)x'(t) dt$$
che nel suo caso corrisponde a:
$$m(D)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}x(t)y'(t) - y(t)x'(t) dt$$
dove $x(t)$ e $y(t)$ sono le componenti $x$ e $y$ della curva, mente $x'(t)$ e $y'(t)$ sono le derivate rispetto a $t$ delle componenti $x$ e $y$ della curva.
Ho ancora qualche domanda,
data la figura seguente,che sarebbe la rappresentazione paramentrica della curva
[img]http://www5b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP40211bf0b91eac97ih000025c84dh4901a7fcc?MSPStoreType=image/gif&s=35[/img]
a) 1/2 prima dell'integrale da dove salta fuori? fa parte della formula e va sempre messo?
b) il teorema di Gauss Green può essere usato solo per curve chiuse e semplici? perchè questa curva è chiusa ma non semplice.
c) dal momento che la rappresentazione parametrica della curva fatta su wolfram mi da tre petali disposti come da figura in questo modo:
- uno nel I quadrante,
- uno a cavallo fra il II ed il III quadrante
- l'ultimo petalo nel VI quadrante, uguale e opposto a quello nel I quadrante, la loro area è quindi 0 perchè differenza fra le due?
Assodato i fatti sopracitati:
d) dovrei calcolare l'integrale di un petalo e moltiplicarlo * 3 però calclando l'integrale fra 0 e pigreco/3? (perchè integrando fra 0 e pigreco/3 faccio si che i 3 petali si riducono ad uno, quindi una curva chiusa semplice regolare e conseguentemente posso applicare il teorema di Gauss Green )
oppure
e)calcolare l'area del solo petalo a cavallo fra il II ed il III quadrante sempre fra 0 e pigreco/3?
$area=\int_{0}^{\pi /3 }x(t)y'(t)-y(t)x'(t)dt$
grazie mille
data la figura seguente,che sarebbe la rappresentazione paramentrica della curva
[img]http://www5b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP40211bf0b91eac97ih000025c84dh4901a7fcc?MSPStoreType=image/gif&s=35[/img]
a) 1/2 prima dell'integrale da dove salta fuori? fa parte della formula e va sempre messo?
b) il teorema di Gauss Green può essere usato solo per curve chiuse e semplici? perchè questa curva è chiusa ma non semplice.
c) dal momento che la rappresentazione parametrica della curva fatta su wolfram mi da tre petali disposti come da figura in questo modo:
- uno nel I quadrante,
- uno a cavallo fra il II ed il III quadrante
- l'ultimo petalo nel VI quadrante, uguale e opposto a quello nel I quadrante, la loro area è quindi 0 perchè differenza fra le due?
Assodato i fatti sopracitati:
d) dovrei calcolare l'integrale di un petalo e moltiplicarlo * 3 però calclando l'integrale fra 0 e pigreco/3? (perchè integrando fra 0 e pigreco/3 faccio si che i 3 petali si riducono ad uno, quindi una curva chiusa semplice regolare e conseguentemente posso applicare il teorema di Gauss Green )
oppure
e)calcolare l'area del solo petalo a cavallo fra il II ed il III quadrante sempre fra 0 e pigreco/3?
$area=\int_{0}^{\pi /3 }x(t)y'(t)-y(t)x'(t)dt$
grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo