Calcolare l'area di \( \Sigma \)
ciao! ho dei dubbi su come considerare la superficie sigma, mi potreste dare una mano?
Si consideri la superficie \( \Sigma = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : y^2+z^2=1 \: e \: x^2+z^2 \leq 1\} \). Si scriva una parametrizzazione di e si calcoli l'area di \( \Sigma \).
da quello che ho capito io si tratta di due cerchi sul piano zy e zx di cui rispettivamente uno vuoto e l'altro pieno, allora cosa ho pensato, che i casi sono due: 1) il cerchio vuoto non contribuisce all'area di \(\Sigma \) quindi devo solo parametrizzare il secondo cerchio; 2) in qualche modo il cerchio vuoto influisce sull'area quindi bisogna considerarlo.
ad ogni modo ho parametrizzato entrambi così:
\( \Sigma = \Sigma_1 \cup \Sigma_2 \) con \( \Sigma_1 = \{ (x,z) \in \mathbb{R}^2 : x^2+z^2 \leq 1 \} \) e \(\Sigma_2 = \{ (y,z) \in \mathbb{R}^2 : y^2+z^2=1 \} \)
per parametrizzare \(\Sigma_1 \) uso le polari
\( \begin{cases} x= \rho cos\theta \\ z=\rho sin\theta \end{cases} \)
con \( 0 \leq \rho \leq 1 \) e \( 0 \leq \theta \leq 2\pi \)
a questo punto devo solo fare l'intergale:
\(\int _{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \| \overrightarrow{r}_{\rho} \times \overrightarrow{r}_{\theta} \|d\theta \: d\rho = \: \pi \)
giusto? qui mi fermo perchè sinceramente non so cosa pensare del cerchio vuoto... vi prego aiutatemi
grazie mille
Si consideri la superficie \( \Sigma = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : y^2+z^2=1 \: e \: x^2+z^2 \leq 1\} \). Si scriva una parametrizzazione di e si calcoli l'area di \( \Sigma \).
da quello che ho capito io si tratta di due cerchi sul piano zy e zx di cui rispettivamente uno vuoto e l'altro pieno, allora cosa ho pensato, che i casi sono due: 1) il cerchio vuoto non contribuisce all'area di \(\Sigma \) quindi devo solo parametrizzare il secondo cerchio; 2) in qualche modo il cerchio vuoto influisce sull'area quindi bisogna considerarlo.
ad ogni modo ho parametrizzato entrambi così:
\( \Sigma = \Sigma_1 \cup \Sigma_2 \) con \( \Sigma_1 = \{ (x,z) \in \mathbb{R}^2 : x^2+z^2 \leq 1 \} \) e \(\Sigma_2 = \{ (y,z) \in \mathbb{R}^2 : y^2+z^2=1 \} \)
per parametrizzare \(\Sigma_1 \) uso le polari
\( \begin{cases} x= \rho cos\theta \\ z=\rho sin\theta \end{cases} \)
con \( 0 \leq \rho \leq 1 \) e \( 0 \leq \theta \leq 2\pi \)
a questo punto devo solo fare l'intergale:
\(\int _{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \| \overrightarrow{r}_{\rho} \times \overrightarrow{r}_{\theta} \|d\theta \: d\rho = \: \pi \)
giusto? qui mi fermo perchè sinceramente non so cosa pensare del cerchio vuoto... vi prego aiutatemi
grazie mille
Risposte
non mi torna il tuo ragionamento : hai una superficie dello spazio e come tale la devi parametrizzare osservando che devi calcolare l'area della parte della superficie $y^2+z^2=1$ la cui proiezione nel piano $xz$ è il cerchio $x^2+y^2 leq 1$
Non ho capito....
puoi parametrizzare metà della parte in questo modo
$P(rho,theta)=(rhocostheta,rhosentheta,sqrt(1-rho^2cos^2theta));theta in [0,2pi],rho in [0,1]$
$P(rho,theta)=(rhocostheta,rhosentheta,sqrt(1-rho^2cos^2theta));theta in [0,2pi],rho in [0,1]$
oppure per parametrizzare la superficie $\Sigma$ in questo modo $f(y,z)=y^2+z^2-1$
puoi fare $ r={ ( y=y ),( z=z ),( f(y,z)=y^2+z^2-1 ):} $
così ora puoi calcolarti $ (\partial r)/(\partial y) $ e $ (\partial r)/(\partial z) $ e successivamente fare $ (\partial r)/(\partial y) ^^ (\partial r)/(\partialz) $
sennò se ti ricordi la formula diretta $ d\sigma=\sqrt(1+||\grad f||^2)dydz $
puoi fare $ r={ ( y=y ),( z=z ),( f(y,z)=y^2+z^2-1 ):} $
così ora puoi calcolarti $ (\partial r)/(\partial y) $ e $ (\partial r)/(\partial z) $ e successivamente fare $ (\partial r)/(\partial y) ^^ (\partial r)/(\partialz) $
sennò se ti ricordi la formula diretta $ d\sigma=\sqrt(1+||\grad f||^2)dydz $
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