Calcolare la somma di una serie

[Yayoyoddu]

Calcolare, per ogni x $in$ $R$ la somma della serie
$\sum_{n>=0} (2^n x^(n+1))/((n+1)!)$

Non capisco come devo impostare esercizi di questo! è possibile avere qualche informazione?

Grazie...

[MaMo2]

Con semplici passaggi si ottiene:

$\sum_(n>=0)(2^nx^(n+1))/((n+1)!)=1/2\sum_(n>=0)(2x)^(n+1)/((n+1)!)=1/2\sum_(n>=1)(2x)^n/(n!)=1/2\sum_(n>=0)(2x)^n/(n!)-1/2= (e^(2x)-1)/2$

[Yayoyoddu]

Ok.... ma in tutti i casi si cerca di arrivare a sviluppi di funzione conosciuti? Oppure esistono altri metodi?

[gugo82]

"MaMo":Con semplici passaggi si ottiene:

$\sum_(n>=0)(2^nx^(n+1))/((n+1)!)=1/2\sum_(n>=0)(2x)^(n+1)/((n+1)!)=1/2\sum_(n>=1)(2x)^n/(n!)=1/2\sum_(n>=0)(2x)^n/(n!)-1/2= (e^(2x)-1)/2$

[mod="Gugo82"]Qui si cercano innanzitutto di spiegare le idee; risolvere gli esercizi come per magia non è molto utile sotto questo punto di vista (come sta a dimostrare la risposta che hai ottenuto).

Credevo che dopo 1477 post avessi afferrato...[/mod]

[Yayoyoddu]

"Gugo82":[quote="MaMo"]Con semplici passaggi si ottiene:

$\sum_(n>=0)(2^nx^(n+1))/((n+1)!)=1/2\sum_(n>=0)(2x)^(n+1)/((n+1)!)=1/2\sum_(n>=1)(2x)^n/(n!)=1/2\sum_(n>=0)(2x)^n/(n!)-1/2= (e^(2x)-1)/2$

[/quote]

Non è un problema... ne ho altri da svolgere! Ora però voglio capire come ci si comporta, che faccio? Posto un nuovo esercizio?

[Fioravante Patrone1]

Se devi calcolare la somma di una serie, di solito (come sempre, ricette generali non ce ne sono) puoi provare a ricondurti ad una serie nota.

Ad esempio, nel tuo caso:
$\sum_{n>=0} (2^n x^(n+1))/((n+1)!)$
dovesti notare che "assomiglia" alla serie nota:
$\sum_{n>=0} (x^n)/(n!)$.

Cosa c'è di diverso?
- c'è anche $2^n$ al numeratore. Poco male, vorrà dire che avrai $\sum_{n>=0} ((2x)^n)/(n!)$
- qualche indice "sballato". Nel tuo caso un po' di $n+1$ al posto di $n$. Beh, ci si arrangia come fatto da MaMO (vedi il secondo e terzo "=" suoi) in modo da fare tonae gli indici giusti

Spero che, se rileggi i passaggi di MaMo con questa ottica, non sembreranno "magia".