Calcolare la somma di una serie
Ciao ragazzi! Ho ancora problemi con queste serie di potenze purtroppo! 
Stavo cercando di risolvere questo esercizio: Calcolare la somma della serie:
$sum_{n=1}^oo n^3z^n$
Ok allora prendo come serie di riferimento $sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1)$ dove so che la somma è $(2z)/(1-z)^3$ (svolto dal professore poco prima nella pagina).
Bene allora la serie può essere vista come $sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1) = sum_{n=2}^oo n^2z^(n-1) - sum_{n=2}^oo nz^(n-1) $
$
=> (1/z)sum_{n=2}^oo n^2z^n - sum_{n=2}^oo nz^(n-1)$
$
=> (1/z)sum_{n=2}^oo n^2z^n = sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1) + sum_{n=2}^oo nz^(n-1) $
$
=> (1/z) (del)/(delz)sum_{n=2}^oo n^2z^n = (del)/(delz)sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1) + (del)/(delz)sum_{n=2}^oo nz^(n-1)
$
$=> (1/z)sum_{n=2}^oo n^3z^(n-1) = sum_{n=2}^oo n(n-1)(n-1)z^(n-2) + sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-2)$
$
$
$=>(1/z)sum_{n=1}^oo n^3z^(n-1) -1 = sum_{n=2}^oo n(n-1)(n-1)z^(n-2) + sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-2) $
$=> (1/z)sum_{n=1}^oo n^3z^(n-1) = sum_{n=2}^oo n(n-1)(n-1)z^(n-2) + sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-2) + 1$
$ =>(1/z^2)sum_{n=1}^oo n^3z^n = (del)/(delz)sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1) + (1/z)sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1) + 1 $
$=> (1/z^2)sum_{n=1}^oo n^3z^n = (del)/(delz)(2z/(1-z)^3) + (1/z)(2z/(1-z)^3) + 1$
$ =>(1/z^2)sum_{n=1}^oo n^3z^n = ((4z+2)/(1-z)^4) + (2/1-z^3) + 1 = (2z+4)/(1-z)^4 + 1 $
$=> sum_{n=1}^oo n^3z^n = z^2((2z+4)/(1-z)^4 + 1)$
però il risultato dato dal professore è $(z(z^2 + 4z +1))/(1-z)^4$
Non riesco a capire dove si trova l errore... ho anche rifatto i calcoli più volte!
Grazie in anticipo per l aiuto! (e scusatemi per la confusione con tutte queste formule!
)
(Spero di non aver fatto errori di trascrizione..)
Stavo cercando di risolvere questo esercizio: Calcolare la somma della serie:
$sum_{n=1}^oo n^3z^n$
Ok allora prendo come serie di riferimento $sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1)$ dove so che la somma è $(2z)/(1-z)^3$ (svolto dal professore poco prima nella pagina).
Bene allora la serie può essere vista come $sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1) = sum_{n=2}^oo n^2z^(n-1) - sum_{n=2}^oo nz^(n-1) $
$
=> (1/z)sum_{n=2}^oo n^2z^n - sum_{n=2}^oo nz^(n-1)$
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=> (1/z)sum_{n=2}^oo n^2z^n = sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1) + sum_{n=2}^oo nz^(n-1) $
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=> (1/z) (del)/(delz)sum_{n=2}^oo n^2z^n = (del)/(delz)sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1) + (del)/(delz)sum_{n=2}^oo nz^(n-1)
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$=> (1/z)sum_{n=2}^oo n^3z^(n-1) = sum_{n=2}^oo n(n-1)(n-1)z^(n-2) + sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-2)$
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$=>(1/z)sum_{n=1}^oo n^3z^(n-1) -1 = sum_{n=2}^oo n(n-1)(n-1)z^(n-2) + sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-2) $
$=> (1/z)sum_{n=1}^oo n^3z^(n-1) = sum_{n=2}^oo n(n-1)(n-1)z^(n-2) + sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-2) + 1$
$ =>(1/z^2)sum_{n=1}^oo n^3z^n = (del)/(delz)sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1) + (1/z)sum_{n=2}^oo n(n-1)z^(n-1) + 1 $
$=> (1/z^2)sum_{n=1}^oo n^3z^n = (del)/(delz)(2z/(1-z)^3) + (1/z)(2z/(1-z)^3) + 1$
$ =>(1/z^2)sum_{n=1}^oo n^3z^n = ((4z+2)/(1-z)^4) + (2/1-z^3) + 1 = (2z+4)/(1-z)^4 + 1 $
$=> sum_{n=1}^oo n^3z^n = z^2((2z+4)/(1-z)^4 + 1)$
però il risultato dato dal professore è $(z(z^2 + 4z +1))/(1-z)^4$
Non riesco a capire dove si trova l errore... ho anche rifatto i calcoli più volte!
Grazie in anticipo per l aiuto! (e scusatemi per la confusione con tutte queste formule!
)(Spero di non aver fatto errori di trascrizione..)
Risposte
An forse bisognava comprendere l' $1/z$ nella derivata!
Proviamo!
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Update: Dopo aver rifatto i calcoli l esercizio mi viene giusto derivando anche l' $(1/z)$ solo che per avere lo stesso risultato del professore devo ignorare il "+1" (che poi in verità sarebbe $+(1/z)$ quando si porta fuori dalla sommatoria) quando porto la sommatoria da $n=2$ a $n=1$.... non riesco a capire il perché..
Proviamo!
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Update: Dopo aver rifatto i calcoli l esercizio mi viene giusto derivando anche l' $(1/z)$ solo che per avere lo stesso risultato del professore devo ignorare il "+1" (che poi in verità sarebbe $+(1/z)$ quando si porta fuori dalla sommatoria) quando porto la sommatoria da $n=2$ a $n=1$.... non riesco a capire il perché..
Scusami però la tua risoluzione mi sembra molta "calcolosa" e un po' poco schematica (senza offesa...).
Noi cerchiamo delle cose tipo $\sum n(n-1)z^(n-2)$ perchè poi le sappiamo integrare senza difficolta.
Quindi:
$n^3=n(n-1)(n-2)\ +\ 3n^2\ +\ 2n = n(n-1)(n-2)\ +\ 3n(n-1)\ +\ n $
Adesso trattiamo i tre addendi separatamente
$\sum n(n-1)(n-2)z^n =z^3\sum n(n-1)(n-2)z^(n-3) = z^3(d^3)/(dz^3)\sumz^(n-3) = z^3(d^2)/(dz^2) (1)/(1-z) = (6z^3)/(1-z)^4$
$3\sum n(n-1)z^n =3z^2\sum n(n-1)z^(n-2) = 3z^2(d^2)/(dz^2)\sumz^(n-2) = 3z^2(d^2)/(dz^2) (1)/(1-z) = (6z^2)/(1-z)^3$
$\sum n(n-1)z^n =z\sum nz^(n-1) = z(d)/(dz)\sumz^(n-1) = z(d)/(dz) (1)/(1-z) = z/(1-z)^2$
Adesso sommiamo le 3 espressioni:
$(6z^3)/(1-z)^4+(6z^2)/(1-z)^3+z/(1-z)^2 = (z(z^2+4z+1))/(1-z)^4$
Noi cerchiamo delle cose tipo $\sum n(n-1)z^(n-2)$ perchè poi le sappiamo integrare senza difficolta.
Quindi:
$n^3=n(n-1)(n-2)\ +\ 3n^2\ +\ 2n = n(n-1)(n-2)\ +\ 3n(n-1)\ +\ n $
Adesso trattiamo i tre addendi separatamente
$\sum n(n-1)(n-2)z^n =z^3\sum n(n-1)(n-2)z^(n-3) = z^3(d^3)/(dz^3)\sumz^(n-3) = z^3(d^2)/(dz^2) (1)/(1-z) = (6z^3)/(1-z)^4$
$3\sum n(n-1)z^n =3z^2\sum n(n-1)z^(n-2) = 3z^2(d^2)/(dz^2)\sumz^(n-2) = 3z^2(d^2)/(dz^2) (1)/(1-z) = (6z^2)/(1-z)^3$
$\sum n(n-1)z^n =z\sum nz^(n-1) = z(d)/(dz)\sumz^(n-1) = z(d)/(dz) (1)/(1-z) = z/(1-z)^2$
Adesso sommiamo le 3 espressioni:
$(6z^3)/(1-z)^4+(6z^2)/(1-z)^3+z/(1-z)^2 = (z(z^2+4z+1))/(1-z)^4$
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