Calcolare la somma di una serie
Devo calcolare la somma di \(\displaystyle \sum \frac{4e^{n-1}}{3^n} \)
\(\displaystyle 4\sum \frac{e^n-e}{3^n} \)=\(\displaystyle 4 \sum \frac{e^n}{3^n}- 4e\sum \frac{1}{3^n}\)
Ottengo la somma di due serie geometriche entrambe con ragione compresa tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 1 \), quindi entrambe convergenti
\(\displaystyle 4[ \frac{1}{1- \frac{e}{3}}] -4e[\frac{1}{1- \frac{1}{3}}]\)
\(\displaystyle = 4(\frac{3}{3-e})-4e (\frac{3}{2}) \)=\(\displaystyle 4[(\frac{3}{3-e})-\frac{3}{2}e] \)
Ma il risultato è \(\displaystyle \frac{4e}{3(3-e)} \), dove sbaglio?
\(\displaystyle 4\sum \frac{e^n-e}{3^n} \)=\(\displaystyle 4 \sum \frac{e^n}{3^n}- 4e\sum \frac{1}{3^n}\)
Ottengo la somma di due serie geometriche entrambe con ragione compresa tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 1 \), quindi entrambe convergenti
\(\displaystyle 4[ \frac{1}{1- \frac{e}{3}}] -4e[\frac{1}{1- \frac{1}{3}}]\)
\(\displaystyle = 4(\frac{3}{3-e})-4e (\frac{3}{2}) \)=\(\displaystyle 4[(\frac{3}{3-e})-\frac{3}{2}e] \)
Ma il risultato è \(\displaystyle \frac{4e}{3(3-e)} \), dove sbaglio?
Risposte
dovresti mettere gli indici nella sommatoria, sono importanti hai fini del calcolo della somma ... e poi il primo passaggio è sbagliato... verosimilmente dovrebbe essere cosi:
\[\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{4e^{n-1}}{3^n}\]
\[\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{4e^{n-1}}{3^n}\]
Si sono quelli gli indici, da \(\displaystyle 2 \) a \(\displaystyle + \infty \) (ma come si fa graficamente a metterli ?)
Perchè è sbagliato il primo passaggio? \(\displaystyle e^{n-1}= e^n-1 \), no?
Perchè è sbagliato il primo passaggio? \(\displaystyle e^{n-1}= e^n-1 \), no?
e no!!! proprietà delle potenze
\[e^{n-1}=e^n\cdot e^{-1}=\frac{e^n}{e}\]
\[e^{n-1}=e^n\cdot e^{-1}=\frac{e^n}{e}\]
Cavolo è vero!!!!!!!!
Quindi ho \(\displaystyle \frac{4}{e} \sum (\frac{e}{3})^n \)
\(\displaystyle \frac{4}{e}[ \frac{1}{1- \frac{e}{3}}] \)
\(\displaystyle \frac{4}{e} \frac{3}{3-e} \)
Quindi ho \(\displaystyle \frac{4}{e} \sum (\frac{e}{3})^n \)
\(\displaystyle \frac{4}{e}[ \frac{1}{1- \frac{e}{3}}] \)
\(\displaystyle \frac{4}{e} \frac{3}{3-e} \)
no perchè partendo da $n=2$ la sommatoria, la somma della serie geometrica di ragione $e/3$ diviene
\[\frac{\left(\frac{e}{3}\right)^2}{1-\frac{e}{3}}\]
in generale la somma della serie geometrica è
\[\sum_{n=\beta}^{+\infty} x^n=\frac{\left(x\right)^{\beta}}{1-x}\]
come vedi se $\beta=0$ hai la formula che hai usato impropriamente tu!
\[\frac{\left(\frac{e}{3}\right)^2}{1-\frac{e}{3}}\]
in generale la somma della serie geometrica è
\[\sum_{n=\beta}^{+\infty} x^n=\frac{\left(x\right)^{\beta}}{1-x}\]
come vedi se $\beta=0$ hai la formula che hai usato impropriamente tu!
Perfetto, grazie 100 
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