Calcolare la somma approssimata a meno di 1/200

[Cioscos1]

Salve a tutti,
Devo capire se questa serie:
$\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{\sqrt{1+4n^2}-1}{n^3+3}$
è convergente e calcolarne la somma approssimata a meno di 1/200.
Ora verificato al condizione necessaria di convergenza facendo il limite di n -> inf che è 0, quindi la serie può convergere. Ora per trovare la una somma approssiamata dovrei procedere con il criterio del confronto ma sinceramente non saprei come procedere. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo.

[dissonance]

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 2#p8476632

Non lo so, non ci ho pensato per niente, ma il criterio di confronto con integrale potrebbe essere utile. Se ne sta giusto parlando in questo altro post.

[pilloeffe]

Ciao Cioscos,

"Cioscos":Devo capire se questa serie:
$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt{1+4n^2}-1}{n^3+3} $
è convergente [...]

Non ci sono dubbi in proposito, in quanto si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt{1+4n^2}-1}{n^3+3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4n^2}{(n^3+3)(\sqrt{1+4n^2}+1)} < \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n^2} = 2 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = 2 \cdot \pi^2/6 = \pi^2/3 $