Calcolare la serie di Fourier
Calcolare la serie di Fourier della seguente funzione continuate periodicamente con periodo 2 pigreco:
$ f(x) = { ( x; 0<=x
Vorrei capire come procedere. Grazie mille in anticipo!
$ f(x) = { ( x; 0<=x
Vorrei capire come procedere. Grazie mille in anticipo!
Risposte
Beh, direi di applicare direttamente la definizione, calcolando i coefficienti con gli integrali.
Sapendo che la serie è \(S(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{inx}\), calcoli i coefficienti con
\[
c_n=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}f(x)\,\mathrm{d}x.
\]
Sapendo che la serie è \(S(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{inx}\), calcoli i coefficienti con
\[
c_n=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}f(x)\,\mathrm{d}x.
\]
Allora, siccome nell'esercizio viene esplicitamente chiesto di calcolare la serie "in ambito reale", quando mi appresto a trovare i relativi coefficienti di Fourier (A_k, B_k) sfruttando la loro definizione e svolgendo i calcoli, mi viene il fattore "k" al denominatore di una frazione. Però comparendo A_0 nella formula per il calcolo della serie, dovrei sostituire a "k" il valore zero nell'espressione di A_k, però questo porta a dividere qualcosa per zero. Quindi come vado avanti?
La definizione che ho scritto io può andar bene comunque, se poi la funzione è reale troverai che i coefficienti sono a coppie di complessi coniugati, \(c_{-n}=c_n^*\).
Tra l'altro ho dimenticato la normalizzazione, gli esponenziali vanno divisi per \(\sqrt{2\pi}\).
Comunque, nel caso reale, il coefficiente \(A_0\) dovrebbe essere un multiplo del valor medio della funzione; se stai usando la formula
\[
S(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}\big[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\big]
\]
allora
\[
a_0=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=\frac1{\pi}\int_0^{\pi}x\,\mathrm{d}x
\]
che non è problematico.
Come fai ad ottenere un \(k\) (o, in questo caso, \(n\)) al denominatore?
Tra l'altro ho dimenticato la normalizzazione, gli esponenziali vanno divisi per \(\sqrt{2\pi}\).
Comunque, nel caso reale, il coefficiente \(A_0\) dovrebbe essere un multiplo del valor medio della funzione; se stai usando la formula
\[
S(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}\big[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\big]
\]
allora
\[
a_0=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=\frac1{\pi}\int_0^{\pi}x\,\mathrm{d}x
\]
che non è problematico.
Come fai ad ottenere un \(k\) (o, in questo caso, \(n\)) al denominatore?
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