Calcolare la derivata 13 di f(0).

[nunziox]

Essendo

$f(x)=(x-2)/(x^2+2)$

sviluppo in serie:

$ f(x)=(x-2)/(x^2+2) $

$f(x)=x/(x^2+2)-2/(x^2+2)$

$f(x)=-1/2x 1/(1-x^2/2) +1/(1-x^2/2)$


$f(x)=sum x^(2n)/2^(2n) - sum x^(2n+1)/2^(2n+1) $

$f(x)=sum x^(2n)(2-x)/2^(2n+1) $
sono giusti i calcoli ???
Non vedo il termine a(n) che mi serve per il calcolo di $f(0)^13=a(n)!n$

[Seneca1]

"nunziox":$f(x)=-1/2x 1/(1-x^2/2) +1/(1-x^2/2)$

Qui secondo me hai sbagliato i segni... Può essere?

[ciampax]

Una cosa che non capisco è perché scomporlo in due: basta osservare che

$1/{2+x^2}=1/2\cdot 1/{1+x^2/2}=1/2\sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k}/{2^k}$

per cui

$f(x)=(x-2)/2\cdot \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k}/{2^k}=\sum_{k=0}^\infty((-1)^k x^{2k+1}/2^{k+1}-(-1)^k x^{2k}/2^k)$

Per cui il termine $a_{13}$ si ottiene per $2k+1=13$ e quindi $k=6$. Ne segue che $a_{13}=(-1)^6/2^{6+1}=1/{128}$ e che $f^{(13)}(0)=13!\cdot 1/{128}=48648600$

[nunziox]

Si li avevo sbagliato i segni!
Nel calcolo di ciampax non capisco solo quel $(-1)^k$

la serie geometrica:
$sum x^n$ è $1/(1-x)$
invece
$sum (-1)^n x^n$ è $1/(1+x)$

?