Calcolare la convergenza di una serie al variare di x
ciao a tutti ^^
ho un dubbio atroce...è giusto come calcolo la convergenza di questa serie al variare di x???
allora...io ho:
$ sum_(n = 0)^(oo) (x+1)^n/(3^n+1) $ ed ho applicato il criterio del rapporto facendo:
$ lim_(n -> oo) ((x+1)^(n+1)/(3^(n+1)+1)*(3^n+1)/(x+1)^n) $ = $ lim_(n -> oo) (((x+1)*(3^n+1))/(3^(n+1)+1))$ ~ $lim_(n -> oo) (((x+1)*(3^n))/(3^(n+1)))$ = $lim_(n -> oo) ((x+1)/(3))$
a questo punto ho detto che:
-per $((x+1)/(3))>1$, ovvero, per $x>2$ la serie diverge
-per $((x+1)/(3))<1$, ovvero, per $x<2$ la serie converge
-per $((x+1)/(3))=1$, ovvero, per $x=2$ nulla si può determinare
è giusto???
grazie in anticipo a tutti
ciao!!!
ho un dubbio atroce...è giusto come calcolo la convergenza di questa serie al variare di x???
allora...io ho:
$ sum_(n = 0)^(oo) (x+1)^n/(3^n+1) $ ed ho applicato il criterio del rapporto facendo:
$ lim_(n -> oo) ((x+1)^(n+1)/(3^(n+1)+1)*(3^n+1)/(x+1)^n) $ = $ lim_(n -> oo) (((x+1)*(3^n+1))/(3^(n+1)+1))$ ~ $lim_(n -> oo) (((x+1)*(3^n))/(3^(n+1)))$ = $lim_(n -> oo) ((x+1)/(3))$
a questo punto ho detto che:
-per $((x+1)/(3))>1$, ovvero, per $x>2$ la serie diverge
-per $((x+1)/(3))<1$, ovvero, per $x<2$ la serie converge
-per $((x+1)/(3))=1$, ovvero, per $x=2$ nulla si può determinare
è giusto???
grazie in anticipo a tutti
ciao!!!
Risposte
Mmmmm.... io separeri i casi di $x>-1$ (dove il termine generale è sempre positivo) da quelli per cui $x<-1$ (in cui la serie è a termini di segno alterno). Quello che hai fatto va bene se $x>-1$.
ah ok perfetto, quindi dovrei fare
per $x>1$ serie a termini non negativi
-per $((x+1)/(3))>1$, ovvero, per $x>2$ la serie diverge
-per $((x+1)/(3))<1$, ovvero, per $x<2$ la serie converge
-per $((x+1)/(3))=1$, ovvero, per $x=2$ nulla si può determinare
e per $x<-1$ serie a termini di segno qualunque
-per $((-x+1)/(3))>1$, ovvero, per $x<-2$ la serie diverge
-per $((-x+1)/(3))<1$, ovvero, per $x>-2$ la serie converge
-per $((-x+1)/(3))=1$, ovvero, per $x=-2$ nulla si può determinare
giusto???
per $x>1$ serie a termini non negativi
-per $((x+1)/(3))>1$, ovvero, per $x>2$ la serie diverge
-per $((x+1)/(3))<1$, ovvero, per $x<2$ la serie converge
-per $((x+1)/(3))=1$, ovvero, per $x=2$ nulla si può determinare
e per $x<-1$ serie a termini di segno qualunque
-per $((-x+1)/(3))>1$, ovvero, per $x<-2$ la serie diverge
-per $((-x+1)/(3))<1$, ovvero, per $x>-2$ la serie converge
-per $((-x+1)/(3))=1$, ovvero, per $x=-2$ nulla si può determinare
giusto???
Eh no: se $x+1<0$ allora posto $x+1=-y,\ y>0$ la seie diventa
$\sum_{n=0}^{\infty}{(-y)^n}/{3^n+1}=\sum_{n=0}^\infty (-1) {y^n}/{3^n+1}$
che è a termini di segno alterno, come dicevo!
$\sum_{n=0}^{\infty}{(-y)^n}/{3^n+1}=\sum_{n=0}^\infty (-1) {y^n}/{3^n+1}$
che è a termini di segno alterno, come dicevo!
ahhhhhhhhh ok...allora devo poi ricalcolare il tutto col criterio del rapporto quando si ha appunto $x+1=-y$ okok chiaro XD
.......mai sentito parlare di un criterio di un certo Leibniz???? Il criterio del rapporto vale solo per serie a termini non negativi!
o cacchio...XD
però se io considero prima la serie dei moduli poi posso applicare il criterio della convergenza, no???
però se io considero prima la serie dei moduli poi posso applicare il criterio della convergenza, no???
Il criterio della convergenza che è?
Certo che puoi farlo, ma poi cosa dici dei valori che escludi? Qyelli puoi analizzarli solo con Leibniz.
Certo che puoi farlo, ma poi cosa dici dei valori che escludi? Qyelli puoi analizzarli solo con Leibniz.
vero vero...hahahaha ho sonno XD
volevo dire criterio del confronto hehehehe
comunque chiaro chiaro
volevo dire criterio del confronto hehehehe
comunque chiaro chiaro
Confronto? E di grazia, dove lo applicheresti?
aaaaaaaaaaaa sn stanco XD
volevo dire criterio del rapporto come ho fatto prima
volevo dire criterio del rapporto come ho fatto prima
Ecco: vai a dormire e ne riparliamo domani!
che figuraccia XD
ok...allora io pongo $x+1<0$ e dico che $x+1=-y$
allora ho: $\sum_{n=0}^{\infty}{(-y)^n}/{3^n+1}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*{y^n}/{3^n+1}$
quindi applico leibnitz
$ lim_(n -> oo) {y^n}/{3^n+1} $~ $ lim_(n -> oo) {y^n}/{3^n} $= $ lim_(n -> oo) (y/3)^n $=0 sse |y|<3
ed inoltre $an$ deve essere monotona decrescente, ovvero,
${y^n}/{3^n+1} >={y^(n+1)}/{3^(n+1)+1}$
poi però non so come dimostrare in questo caso che $an>=a(n+1)$
mi potresti far vedere qual'è il modo giusto per calcolare il carattere della serie nel caso si tratti di una serie a termini di segno alterno per favore???
allora ho: $\sum_{n=0}^{\infty}{(-y)^n}/{3^n+1}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*{y^n}/{3^n+1}$
quindi applico leibnitz
$ lim_(n -> oo) {y^n}/{3^n+1} $~ $ lim_(n -> oo) {y^n}/{3^n} $= $ lim_(n -> oo) (y/3)^n $=0 sse |y|<3
ed inoltre $an$ deve essere monotona decrescente, ovvero,
${y^n}/{3^n+1} >={y^(n+1)}/{3^(n+1)+1}$
poi però non so come dimostrare in questo caso che $an>=a(n+1)$
mi potresti far vedere qual'è il modo giusto per calcolare il carattere della serie nel caso si tratti di una serie a termini di segno alterno per favore???
comunque in ogni caso calcolare questa serie era molto piu semplice a mio parere visto che possiamo andarla a confrontare con una serie geometrica
Dalla prima condizione di convergenza per Leibniz sai che deve essere $0
$a_{n+1}-a_n={y^{n+1}}/{3^{n+1}+1}-y^n/{3^n+1}=y^n\cdot{y 3^n+1-3^{n+1}-1}/{(3^{n+1}+1)(3^n+1)}=$
$=y^n\cdot{3^n(y-3)-1}/{(3^{n+1}+1)(3^n+1)}=-y^n\cdot{3^n(3-y)+1}/{(3^{n+1}+1)(3^n+1)}$
e dal momento che tutti i termini della frazione risultano positivi (perché $3-y>0$) allora $a_{n+1}-a_n<0$ e quindi la successione è decrescente.
$a_{n+1}-a_n={y^{n+1}}/{3^{n+1}+1}-y^n/{3^n+1}=y^n\cdot{y 3^n+1-3^{n+1}-1}/{(3^{n+1}+1)(3^n+1)}=$
$=y^n\cdot{3^n(y-3)-1}/{(3^{n+1}+1)(3^n+1)}=-y^n\cdot{3^n(3-y)+1}/{(3^{n+1}+1)(3^n+1)}$
e dal momento che tutti i termini della frazione risultano positivi (perché $3-y>0$) allora $a_{n+1}-a_n<0$ e quindi la successione è decrescente.
grazie mille...tutto chiaro!!!
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