Calcolare la convergenza di un integrale al variare di n
Ciao a tutti ^^
dato il seguente integrale $int_(2)^(oo) (1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2-2))$, la prof mi chiede di calcolarne la convergenza al variare del parametro n.
Volevo sapere se è giusto come l'ho risolto...
io ho fatto:
$int_(2)^(oo) (1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2-2))$ asintotico $int_(2)^(oo) (1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2))$ = $int_(2)^(oo) (1)/((x)^(1/n)*x)$ = $int_(2)^(oo) (1)/((x)^((n+1)/n))$
e poi ho detto: se $(n+1/n)>1$, ovvero, se $1/n>0$ l'integrale converge
ho fatto giusto???
vi prego XD non riempitemi di insulti
grazie a tutti in anticipo
dato il seguente integrale $int_(2)^(oo) (1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2-2))$, la prof mi chiede di calcolarne la convergenza al variare del parametro n.
Volevo sapere se è giusto come l'ho risolto...
io ho fatto:
$int_(2)^(oo) (1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2-2))$ asintotico $int_(2)^(oo) (1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2))$ = $int_(2)^(oo) (1)/((x)^(1/n)*x)$ = $int_(2)^(oo) (1)/((x)^((n+1)/n))$
e poi ho detto: se $(n+1/n)>1$, ovvero, se $1/n>0$ l'integrale converge
ho fatto giusto???
vi prego XD non riempitemi di insulti
grazie a tutti in anticipo
Risposte
Io credo che prima di passare a cercare la funzione asintotica, devi controllare se la funzione integranda è continua negli estremi di integrazione (lo fai per vedere se è un integrale definito o generalizzato).. nel tuo caso è certamente generalizzato perché l'intervallo di integrazione è la semiretta che va a $+oo)$ e in più hai che nel punto 2 il denominatore si annulla generando una singolarità ($f(x)->+oo$ per $x->2+$)
Quindi la funzione integranda è continua su $(2,+oo)$ il che vuol dire che devi valutare come si comporta la f in un intorno di $+oo$ (che è quello che hai fatto tu) e in un intorno di 2! Manca una metà del problema!
Comunque il risultato che hai trovato credo che sia giusto!
Quindi la funzione integranda è continua su $(2,+oo)$ il che vuol dire che devi valutare come si comporta la f in un intorno di $+oo$ (che è quello che hai fatto tu) e in un intorno di 2! Manca una metà del problema!
Comunque il risultato che hai trovato credo che sia giusto!
mmm...ok...ma quindi non ho capito...cos'è che dovrei fare???
Ma in $x=2$ la funzione non ha problemi, per cui cosa serve discutere il suo comportamento? A meno che sotto la radice non ci sia $x^2-4$ (che si annulla per $x=2$ e quindi causerebbe problemi.
In ongi caso, consiglio di evitare di lasciare l'integrale che non fa comprendere cosa stai facendo, e scrivere invece in modo più prosaioc una cosa del tipo "per $x\to+\infty$ la funzione $f(x)\sim$ ecc."
In ongi caso, consiglio di evitare di lasciare l'integrale che non fa comprendere cosa stai facendo, e scrivere invece in modo più prosaioc una cosa del tipo "per $x\to+\infty$ la funzione $f(x)\sim$ ecc."
aaaaaaaa chiaro chiaro XD
ma invece, se appunto avessi avuto $x^2−4$ sotto radice al denominatore, il che mi avrebbe annullato il denominatore e quindi dato problemi, cosa avrei dovuto fare???
in ogni caso tu dici che dovrei scrivere $x\to+\infty$ la funzione $ (1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2-2))\sim(1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2))$ e poi tutto il resto...giusto???
ma invece, se appunto avessi avuto $x^2−4$ sotto radice al denominatore, il che mi avrebbe annullato il denominatore e quindi dato problemi, cosa avrei dovuto fare???
in ogni caso tu dici che dovrei scrivere $x\to+\infty$ la funzione $ (1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2-2))\sim(1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2))$ e poi tutto il resto...giusto???
Accidenti!avevo letto male (avevo letto $(x^2-4)$)!! Scusa Hiei (e grazie ciampax 
)
Insostanza devi controllare due cose
1) quando l'intervallo di integrazione è una semiretta devi capire "quanto la funzione vada velocemente va a zero"
(per $x->+oo$)per decidere se converge o no!
2) controllare e studiare il comportamento della f per tutti gli intorni dei punti (compresi gli estremi dell'intervallo di integrazione) in cui vale $f(x)=+oo$ e decidere se converge o no (se per $x->+oo, f(x)->+oo$ la funzione non converge!)
)Insostanza devi controllare due cose
1) quando l'intervallo di integrazione è una semiretta devi capire "quanto la funzione vada velocemente va a zero"
(per $x->+oo$)per decidere se converge o no!
2) controllare e studiare il comportamento della f per tutti gli intorni dei punti (compresi gli estremi dell'intervallo di integrazione) in cui vale $f(x)=+oo$ e decidere se converge o no (se per $x->+oo, f(x)->+oo$ la funzione non converge!)
hehehehe per sicurezza...si potrebbe avere un esempio pratico con $int_(2)^(oo) (1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2-4))$???
comunque, l'esercizio originale, ovvero, $int_(2)^(oo) (1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2-2))$ l'ho risolto correttamente, giusto???
grazie mille
comunque, l'esercizio originale, ovvero, $int_(2)^(oo) (1)/((x)^(1/n)*sqrt(x^2-2))$ l'ho risolto correttamente, giusto???
grazie mille
@Hiei: 1) sì, hai risolto tutto in modo corretto.
2) se sotto radice ci fosse stato $x^2-4$ avresi potuto procedere così per $x\to 2^+$: ponendo $t=x-2$
$\sqrt{x^2-4}=\sqrt{(x+2)(x-2)}=2\sqrt{x-2}=2\sqrt{t}$ per $t\to 0^+$
E dal momento che $x^{1/n}=(t+2)^{1/n}\sim 2^{1/n}$ sempre per $t\to 0^+$ la tua funzione risulta asintotica a
${1}/{2^{1/n}\cdot 2t^{1/2}}$
il cui integrale converge in $t\to 0^+$ e quindi converge anche l'integrale della funzione originale.
3) Dove hai lasciato Kazeshini? Pronto per il Bankai? E' appena iniziata l'ultima parte di Bleach in Giappone!
2) se sotto radice ci fosse stato $x^2-4$ avresi potuto procedere così per $x\to 2^+$: ponendo $t=x-2$
$\sqrt{x^2-4}=\sqrt{(x+2)(x-2)}=2\sqrt{x-2}=2\sqrt{t}$ per $t\to 0^+$
E dal momento che $x^{1/n}=(t+2)^{1/n}\sim 2^{1/n}$ sempre per $t\to 0^+$ la tua funzione risulta asintotica a
${1}/{2^{1/n}\cdot 2t^{1/2}}$
il cui integrale converge in $t\to 0^+$ e quindi converge anche l'integrale della funzione originale.
3) Dove hai lasciato Kazeshini? Pronto per il Bankai? E' appena iniziata l'ultima parte di Bleach in Giappone!
@ciampax
O.T. inanzi tutto sugoi!!! hahahaha vi seguo sempre XD
detto questo...sotto radice nel punto 2 non consideri $x+2$ perchè non da problemi con 2, però non capisco perchè dopo si ha $2\sqrt{x-2}$...cioè, il due fuori dalla radice da dove viene???
e poi perchè per $t\to 0^+$ l'integrale converge???
O.T. inanzi tutto sugoi!!! hahahaha vi seguo sempre XD
detto questo...sotto radice nel punto 2 non consideri $x+2$ perchè non da problemi con 2, però non capisco perchè dopo si ha $2\sqrt{x-2}$...cioè, il due fuori dalla radice da dove viene???
e poi perchè per $t\to 0^+$ l'integrale converge???
Se $x\to 2$ allora $x+2\to 4$... e l'integrale converge perché dovrebbe essere noto che $\int_0^a 1/{x^\alpha}\ dx$ converge se e solo se $\alpha<1$.
XD chiaro hehehehe
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