Calcolare integrale per ogni intero positivo.
Ciao, come recita il testo devo calcolare il seguente integrale per ogni intero positivo \(\displaystyle n \):
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin(x)} dx \)
Ora io non so proprio da dove iniziare, ho provato a svolgerlo normalmente ma ho avuto dei problemi. Sapreste indicarmi la strada da percorrere?
Scuate se non posto nemmeno un accenno dell'esercizio ma non ne ho idea. Avevo iniziato a ragionare sui valori che può assumere il seno ma con scarsi risultati.
Grazie delle eventuali risposte.
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin(x)} dx \)
Ora io non so proprio da dove iniziare, ho provato a svolgerlo normalmente ma ho avuto dei problemi. Sapreste indicarmi la strada da percorrere?
Scuate se non posto nemmeno un accenno dell'esercizio ma non ne ho idea. Avevo iniziato a ragionare sui valori che può assumere il seno ma con scarsi risultati.
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Potresti provare a vedere come si possa esprimere $\sin(nx)$ in termini di potenze delle funzioni seno e coseno. Osserva che, ad esempio, $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ e $\sin(3x)=\sin x(3-4\sin^2 x)$ e via dicendo, per cui è molto probabile che in generale $\sin(nx)=\sin x\cdot R(\sin x,\cos x)$, dove $R$ è un polinomio nelle due variabili scritte.
Grazie, quindi: \(\displaystyle \sin(nx) = \sin((n-1)x+x) = \sin((n-1)x)\cos(x)+\sin(x)\cos((n-1)x) \), trovato utilizzando come base \(\displaystyle \sin(3x)=\sin(2x+x) = \sin(2x)\cos(x)+sin(x)\cos(2x) \) e le formule di addizione/sottrazione.
Il problema è: Devo risolvere questo integrale come al solito e poi trovata la primitiva ragionare su n ? Oppure ragiono prima sui possibili valori di n e poi calcolo la primitiva?
Non so in che direzione muovermi con questi tipi di esercizio.
Grazie della disponibilità.
Il problema è: Devo risolvere questo integrale come al solito e poi trovata la primitiva ragionare su n ? Oppure ragiono prima sui possibili valori di n e poi calcolo la primitiva?
Non so in che direzione muovermi con questi tipi di esercizio.
Grazie della disponibilità.
Ti faccio una domanda: in che ambito hai trovato questo integrale? Cosa stai studiando? Un modo "facile" di determinare una formula per esprimere $\sin(nx)$ in modo esplicito passa attraverso l'uso dei numeri complessi. Altrimenti, seguendo il ragionamento che stai facendo, potresti provare ad arrivarci "ricorsivamente", ma il conto diventa lungo e quasi impossibile da svolgere. Fammi capire bene cosa "sai" e "cosa puoi fare", così ne riparliamo.
Sto studiando Analisi 2 quindi magari potrei, come forse intendi tu, trasformare il \(\displaystyle sin(nx) \) in campo complesso. Forse così si semplifica un po'. Una domanda: Nell'ambito di Analisi 2 , in generale, questi integrali si fanno sempre allo stesso modo? C'è un approccio più frequente degli altri? Vi chiedo questo perchè all'esame non ho molto tempo anzi per me è pochissimo quindi capire il metodo appena guardo l'esercizio mi è di grande aiuto.
Grazie davvero!
Grazie davvero!
Mmmmmm, mi dici qual è il programma? Fate anche integrali in campo complesso?
Il programma in breve:
0 - Integrali multipli.
1 - Integrali curvilinei (funzione potenziale, Gauss-green etc).
2 - Analisi complessa (Integrali curvilinei e non in campo complesso, residui etc).
3 - Trasformata di Laplace.
Se ti serve altro lo scrivo.
Grazie ancora.
0 - Integrali multipli.
1 - Integrali curvilinei (funzione potenziale, Gauss-green etc).
2 - Analisi complessa (Integrali curvilinei e non in campo complesso, residui etc).
3 - Trasformata di Laplace.
Se ti serve altro lo scrivo.
Grazie ancora.
Dopo aver applicato la formula di addizione, puoi applicare quella di prostaferesi :
$\sin(nx)=1/2[\sin((nx)+\sin((n-2)x)]+\sin(x)\cos((n-1)x)$
Ricavando $\sin(nx)$:
$\sin(nx)=\sin((n-2)x)+2\sin(x)\cos((n-1)x)$
Pertanto , dividendo per $\sin(x) $ ed integrando su $[0,\pi]$, risulta:
$\int_0^{\pi}\frac{\sin(nx)}{\sin(x)}dx=\int_0^{\pi}\frac{\sin((n-2)x)}{\sin(x)}dx+2\int_0^{\pi}\cos((n-1)x)dx$
L'ultimo integrale è nullo, come puoi facilmente verificare, e quindi alla fine si ha:
$\int_0^{\pi}\frac{\sin(nx)}{\sin(x)}dx=\int_0^{\pi}\frac{\sin((n-2)x)}{\sin(x)}dx$
e questa è una formula di ricorsione che ad ogni passaggio diminuisce il numero $n$ di due unità.
Pertanto, se $n$ è pari, dopo $n/2$ passaggi si arriva all'integrale :
$\int_0^{pi}\frac{\sin(0)}{\sin(x)}dx=0$
Mentre, se $n$ è dispari, dopo $(n-1)/2$ passaggi si arriva all'integrale:
$\int_0^{pi}\frac{\sin(x)}{\sin(x)}dx=\int_0^{\pi}dx=\pi$
In definitiva l'integrale proposto vale $0$ per $n$ pari, vale $\pi$ per $n$ dispari.
$\sin(nx)=1/2[\sin((nx)+\sin((n-2)x)]+\sin(x)\cos((n-1)x)$
Ricavando $\sin(nx)$:
$\sin(nx)=\sin((n-2)x)+2\sin(x)\cos((n-1)x)$
Pertanto , dividendo per $\sin(x) $ ed integrando su $[0,\pi]$, risulta:
$\int_0^{\pi}\frac{\sin(nx)}{\sin(x)}dx=\int_0^{\pi}\frac{\sin((n-2)x)}{\sin(x)}dx+2\int_0^{\pi}\cos((n-1)x)dx$
L'ultimo integrale è nullo, come puoi facilmente verificare, e quindi alla fine si ha:
$\int_0^{\pi}\frac{\sin(nx)}{\sin(x)}dx=\int_0^{\pi}\frac{\sin((n-2)x)}{\sin(x)}dx$
e questa è una formula di ricorsione che ad ogni passaggio diminuisce il numero $n$ di due unità.
Pertanto, se $n$ è pari, dopo $n/2$ passaggi si arriva all'integrale :
$\int_0^{pi}\frac{\sin(0)}{\sin(x)}dx=0$
Mentre, se $n$ è dispari, dopo $(n-1)/2$ passaggi si arriva all'integrale:
$\int_0^{pi}\frac{\sin(x)}{\sin(x)}dx=\int_0^{\pi}dx=\pi$
In definitiva l'integrale proposto vale $0$ per $n$ pari, vale $\pi$ per $n$ dispari.
Grazie della risposta, mi sembra chiaro.
Scusate se riapro la discussione ma ho voluto provare a farlo sostituendo: \(\displaystyle sin(x) = \frac{1-\frac{1}{z}}{2i} \)
Posso scrivere: \(\displaystyle \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin(x)} dx \)
Ho cambiato estremi di integrazione per poter applicare la definizione di seno complesso. Applicando la definizione il differenziale diventa \(\displaystyle \frac{dz}{iz}\)
Quindi l'integrale diventa dopo aver sostituito (e aver semplificato) : \(\displaystyle \frac{1}{2i} \int_{|z|=1} \frac{z^{2n}-1}{z^{n} (z^{2} -1)} dz\)
Ora però ci sono due singolarità:
\(\displaystyle z^{n} \) con singolarità in zero di ordine \(\displaystyle n \).
\(\displaystyle z^{2} -1 \) con singolarità \(\displaystyle 1,-1 \) di ordine \(\displaystyle 1 \)
Queste ultime due singolarità però si trovano proprio sul bordo della circonferenza unitaria e ciò non è lecito. Quindi in teoria si dovrebbero semplificare.
Scompongo: \(\displaystyle \frac{z^{2n}-1}{ (z^{2} -1)}\)
Utilizzando il metodo della divisone di polinomi trovo il quoziente: \(\displaystyle z^{2n-2} +z^{2n-4} + z^{2n-6} +z^{2n-8} + .... \)
Che continua così all'infinito. Se volessi trovare una funzione che lo rappresenta potrei scrivere: \(\displaystyle z^{2n-(2n)} \)
Che però è uguale a \(\displaystyle 1 \). Quindi mi rimane: \(\displaystyle \frac{1}{2i} \int_{|z|=1} \frac{1}{z^{n}} dz \)
Questo integrale non riesco a risolverlo in modo da capire che le potenze pari danno un risultato mentre quelle dispari ne danno un altro (come appurato nel metodo precedente scritto da ciromario).
Grazie delle eventuali risposte.
Posso scrivere: \(\displaystyle \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin(x)} dx \)
Ho cambiato estremi di integrazione per poter applicare la definizione di seno complesso. Applicando la definizione il differenziale diventa \(\displaystyle \frac{dz}{iz}\)
Quindi l'integrale diventa dopo aver sostituito (e aver semplificato) : \(\displaystyle \frac{1}{2i} \int_{|z|=1} \frac{z^{2n}-1}{z^{n} (z^{2} -1)} dz\)
Ora però ci sono due singolarità:
\(\displaystyle z^{n} \) con singolarità in zero di ordine \(\displaystyle n \).
\(\displaystyle z^{2} -1 \) con singolarità \(\displaystyle 1,-1 \) di ordine \(\displaystyle 1 \)
Queste ultime due singolarità però si trovano proprio sul bordo della circonferenza unitaria e ciò non è lecito. Quindi in teoria si dovrebbero semplificare.
Scompongo: \(\displaystyle \frac{z^{2n}-1}{ (z^{2} -1)}\)
Utilizzando il metodo della divisone di polinomi trovo il quoziente: \(\displaystyle z^{2n-2} +z^{2n-4} + z^{2n-6} +z^{2n-8} + .... \)
Che continua così all'infinito. Se volessi trovare una funzione che lo rappresenta potrei scrivere: \(\displaystyle z^{2n-(2n)} \)
Che però è uguale a \(\displaystyle 1 \). Quindi mi rimane: \(\displaystyle \frac{1}{2i} \int_{|z|=1} \frac{1}{z^{n}} dz \)
Questo integrale non riesco a risolverlo in modo da capire che le potenze pari danno un risultato mentre quelle dispari ne danno un altro (come appurato nel metodo precedente scritto da ciromario).
Grazie delle eventuali risposte.
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